二、工业机器人动力学

机器人动力学描述的是关节力矩、动力学参数及关节运动的关系，用于机器人动力学建模的方法很多，如牛顿-欧拉方法、拉格朗日方法、凯恩方法、算子代数方法等。对于同一个机器人，无论采用何种建模方法，最终得到的动力学模型都是等价的，可以表示为：

$\tiny \tau _{dyn}=D\left ( q \right )\ddot{q}+C\left ( q,\dot{q} \right )+G\left ( q \right )（2-1）$ （2-1）

其中 $\tiny D\left ( q \right )$ 为惯性项， $\tiny C\left ( q,\dot{q} \right )$ 为科氏力及离心力项， $\tiny G\left ( q \right )$ 为重力项，每一项都是机器人惯性参数与关节运动参数的函数。机器人的10个惯性参数可表示为向量的形式： $\tiny P_{iner}=\left ( I_{xx}, I_{xy}, I_{xz}, I_{yy}, I_{yz}, I_{zz}, H_{x}, H_{y}, H_{z}, m\right )$ ，其中，参数 $\tiny I_{xx}\sim I_{zz}$ 为机器人惯量矩阵 $\tiny I$ 中的6个参数， $\tiny H_{x}\sim H_{z}$ 为 $\tiny H=m\times \vec{r_{c}}=m\left ( r_{cx}, r_{cy}, r_{cz}\right )$ 的3个分量（ $\tiny \vec{r_{c}}$ 为质心向量）。上述9个量均包含（2-1）在 $\tiny D\left ( q \right )$ 及 $\tiny C\left ( q,\dot{q} \right )$ 项内， $\tiny m$ 表示质量，包含在 $\tiny G\left ( q \right )$ 项。

基于模型的控制方案主要包括计算力矩控制、动力学前馈控制等，要想通过这些控制方法实现对轨迹的完全精确跟踪，控制方法中的动力学模型必须与机器人实际的动态特性相符。而各种典型建模方法所得到的动力学模型（2-1），只是在理想情况下的结果。实际情况中，影响机器人动力学的因素很多，如加工、装配、材料分布不均等引起的偏差；关节弹性引起的变形所带来的运动学参数偏差；关节摩擦引起的摩擦力矩；由传动方案所引起的不同关节间的运动耦合等。这些因素中，很多无法进行精确建模。为了不增加动力学模型的复杂性，理想的动力学建模方法并未完全考虑这些因素的作用，因此所得到的动力学模型（1-2）与实际的机器人动力学特性是有偏差的。动力学模型的偏差映射到控制方案中，就会引起轨迹的跟踪误差。

2.1 动力学参数辨识

完整的动力学参数辨识主要包括动力学建模、动力学模型的线性化（辨识模型），辨识轨迹优化、辨识算法构造、参数采集与处理、试验验证等几个方面。不同辨识方案在建模、线性化、轨迹优化及试验验证方面没有太大区别，区别主要体现在辨识算法和采集方面。

就辨识算法而言，目前已有神经网络辨识，遗传算法辨识，最大似然估计辨识，卡尔曼滤波算法辨识，最小二乘法辨识等。

数据采集的区别主要体现在力矩的采集上，关节运动参数一般都是通过安装在电机上的编码器测得关节转角，再对关节转角进行微分得到角速度、角加速度。而力矩的采集大致分为两类，即力传感器直接测量及通过电机电流间接测量。对于直接测量，需要在几机器人关节安装力传感器，一般选在末端或基座处，一是因为其他关节在装配后没有安装力传感器的空间，另一方面，每个关节都安装测力传感器势必会大大增加辨识成本；间接测量是通过电机电流测测量值简介计算出电机的驱动力矩值，电机电流与驱动力矩满足：

$\tiny \tau _{in}=k\cdot i_{c}$

$\tiny \tau$ 为关节力矩， $\tiny k$ 为电机转矩常数， $\tiny i_{c}$ 电机驱动电流。不同测量方案对可辨识的参数类型及参数辨识过程有影响，而不同辨识算法仅对辨识精度有影响。

2.2 牛顿-欧拉动力学建模

牛顿-欧拉动力学方法基于两个基本方程，即力平衡方程以及力矩平衡方程，分别为：

$\tiny f_{c}=ma_{c}$

$\tiny n_{c}=I_{c}\cdot \alpha +\omega \times \left ( I_{c}\cdot \omega \right )$

$\tiny f_{c}$ 表示作用于机械臂质心处的合力， $\tiny a_{c}$ 表示机械臂质心的线加速度， $\tiny n_{c}$ 表示作用于机械臂质心处的合力矩， $\tiny I_{c}$ 表示相对机械臂质心表示的机械臂惯量矩阵， $\tiny \alpha$ 表示机械臂角的加速度， $\tiny \omega$ 表示机械臂角的角速度。

牛顿-欧拉动力学建模方法包括两部分，即正向运动学递推及反向动力学递推：

（1）正向运动学递推

角速度递推：

角加速度递推：

线加速度递推：

质心处线加速度：

其中， $\tiny _{i}^{i+1}\textrm{R}$ 表示第 $\tiny i$ 与第 $\tiny i+1$ 坐标系间的姿态转换矩阵， $\tiny ^{i}\textrm{p}_{i+1}$ 表示第 $\tiny i$ 与第 $\tiny i+1$ 坐标原点间的距离向量， $\tiny ^{i+1}\textrm{z}_{i+1}$ 表示 $\tiny i+1$ 关节的轴线方向， $\tiny \dot{q}_{i+1},\ddot{q}_{i+1}$ 均为关节变量，分别表示关节的角速度和角加速度，其他各符号含义同前，其中左上标代表参数在哪个坐标系表示，右下标表示参数所隶属的机械臂。
（2）反向运动学递推

$\tiny i$ 机械臂质心处的合力：

$\tiny i$ 机械臂关节处的作用力：

$\tiny i$ 机械臂质心处的合力矩：

$\tiny i$ 机械臂关节处的合力矩：

最后，将作用于关节 $\tiny i$ 处的合力矩向 $\tiny i$ 关节轴线方向投影，得到关节 $\tiny i$ 的驱动力矩：

这样，得到工业机器人的动力学方程，一般可写为标准形式：

$\tiny \tau$ 为机器人的驱动力矩向量，满足：

其中， $\tiny \tau _{_{i}}$ 表示第 $\tiny i$ 关节的驱动力矩。

$\tiny D\left ( q\right )$ 称为机械臂的质量矩阵，是一个对称阵：

$\tiny D\left ( q \right )=\begin{bmatrix} D_{11} &D_{12} & .... & D_{1n}\\ D_{12} &D_{22} & .... & D_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ D_{1n} &D_{2n} & .... & D_{nn} \end{bmatrix}$

对角项 $\tiny D_{ii}$ 通过第 $\tiny i$ 关节的角加速度 $\tiny \ddot{q}_{i}$ 产生对第 $\tiny i$ 关节力矩 $\tiny \tau _{i}$ 的力矩分量，非对角项 $\tiny D_{ik}$ 通过第 $\tiny k$ 关节的角加速度 $\tiny \ddot{q}_{k}$ 产生对第 $\tiny i$ 关节力矩 $\tiny \tau _{i}$ 的力矩分量。

$\tiny C\left ( q,\dot{q} \right )$ 为科氏力及离心力项，满足：

$\tiny C\left ( q,\dot{q} \right )=\left ( c_{1},c_{2},...,c_{n} \right )$

其中，

$\tiny c_{i}=\dot{q}^{T}\cdot C_{i}\cdot \dot{q}$ ，

$\tiny C_{i}=\begin{bmatrix} C_{i11} &C_{i12} & .... & C_{i1n}\\C_{i12} &C_{i22} & .... & C_{i2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ C_{i1n} &C_{i2n} & .... & C_{inn} \end{bmatrix}$

，

$\tiny c_{ijk}$ 的后两个下标 $\tiny j,k$ 表示此力矩分量与 $\tiny j,k$ 关节的速度有关，他们的动态力相互作用在关节 $\tiny i$ 处产生反作用力（力矩），标号 $\tiny i$ 总表示“感受”到速度引起的反作用力（力矩）的关节编号。当 $\tiny j=k$ 时， $\tiny c_{ijk}$ 与关节 $\tiny i$ “感受”到的关节 $\tiny k$ 的角速度产生的离心力有关；而当 $\tiny j\neq k$ 时， $\tiny c_{ijk}$ 与关节 $\tiny i$ “感受”到的关节 $\tiny j$ 和 $\tiny k$ 的速度产生的科氏力有关。