1. 引言

2. 建立DH坐标系的技巧

2.1 理清关节和连杆

2.2 画 z 轴

2.3 确定 x 轴

2.3.1 x轴方向

2.3.2 x轴起始点（坐标系原点）

2.4 小结

3. 总结

1. 引言

关于DH参数上一篇文章介绍了基本概念和物理意义，但是还有一些内容没有提到。这篇文章主要介绍DH坐标系建立的一些技巧。

2. 建立DH坐标系的技巧

DH参数本身并不复杂，但是最初我在应用DH参数对机器人建立坐标系时的感受就一个字，乱。乱的原因是比较多的，罗列一下有这么几个点：

在机器人上不太容易一一区分出各个连杆，而且连杆编号也容易乱
无法确定一段距离是连杆偏距 $d$ 还是连杆长度 $a$
难以确定坐标系的 $x$ 轴方向
建立完坐标系后发现通过DH变换无法使坐标系重合

那么建立DH坐标系有没有什么技巧呢？还真有，而且很有效。下面我们来介绍一下如何快速建立机器人的DH坐标系。

2.1 理清关节和连杆

第一步至关重要，你得首先搞清楚哪个是关节1，哪个是连杆1，与连杆1固连的坐标系1原点在哪里等等。还是想再次强调DH坐标系是建立在连杆的传动轴也就是远离基座的那个轴。因此对于串联机器人来说关节，连杆，坐标系按照距离基座由近到远排列应该是这样的：首先肯定是关节1，其次是安装在关节1上的连杆1，然后是与连杆1固连的坐标系1，之后是关节2。请注意连杆1的坐标系
$z$ 轴轴线实际是连杆2的驱动轴。我们以一个六轴机器人建立DH坐标系为例，为了方便看清楚各个连杆，我把每个连杆涂成了不同的颜色，如下图所示。
8. 机器人正运动学---DH坐标系建立技巧想象一下如果没有给各个连杆涂上颜色，你还能一下子看出所有的连杆吗？你还能一下子区分出连杆1的坐标系应该建立在哪里吗？

2.2 画 z 轴

第二步我们要确定各个连杆坐标系的
$z$ 轴，这一步实际上是比较容易的，因为按照规则
$z$ 轴应该是和关节轴同向的。所以这里你唯一需要搞清楚的是这些
$z$ 轴分别是固连在哪个连杆上。由于DH参数是在传动轴上建立坐标系的（请原谅我已经无数次在强调这个问题，因为我曾经无数次掉进这个坑里），所以
$z$ 轴肯定是建立在连杆远离基座一侧的那个轴上的。以下我们把与连杆固连的坐标系涂成与连杆相近的颜色。请先在自己的脑海中构思一下，看看你建立的
$z$ 轴与下面的图是一致的吗。
8. 机器人正运动学---DH坐标系建立技巧

2.3 确定 x 轴

第三步我们需要确定
$x$ 轴，这一步是最关键也是比较困难的一部分。在这里需要确定的有两点，第一点你需要确定
$x$ 轴的方向第二点你得搞清楚坐标系的原点在哪里，也就是需要确定
$x$ 轴的起始点。

2.3.1 x轴方向

我们先解决第一点。DH坐标系的
$x$ 轴是连杆的驱动轴和传动轴的公垂线。所以
$x$ 轴的方向相对而言是比较容易获得的。我们知道两个不平行的向量的叉乘（外积）就是两个向量的公垂线了。所以我们定义：
这样你就可以确定连杆坐标系
$x$ 轴的轴线了。最终
$x$ 轴的指向你可以统一让它们指向传动轴。当驱动轴和传动轴平行时也很简单，你只需要画一条与两个轴都垂直且相交的向量，并且这个向量指向传动轴就可以了。

2.3.2 x轴起始点（坐标系原点）

接下来解决第二点。怎么确定坐标系
$x$ 轴的起点（其实就是坐标系原点）。提前说明一下，当连杆的驱动轴和传动轴是异面直线时这个问题是不存在的，因为异面直线的公垂线有且仅有一条，这个时候原点已经随着
$x$ 轴的确定一起确定下来了（就是
$x$ 轴和
$z$ 轴的交点）。除了异面直线之外，驱动轴和传动轴还有两种关系，一个是平行关系，另一个是相交关系。这两种关系下驱动轴和传动轴的公垂线有无数条。在这个时候要如何确定坐标系的原点呢？按照DH的规则，两个
$z$ 轴之间公垂线长度代表的是抽象的连杆长度，两个
$x$ 轴的公垂线长度代表的相邻两个连杆之间的偏距。你在确定坐标系原点时就需要考虑这些参数物理含义了。由于
$z$ 轴已经全部确定了，
$x$ 轴的方向也确定了，所以这个时候各个连杆的长度也就是DH参数中的
$a$ 已经确定了。那么我们在选择
$x$ 轴的起点时必须要保证经过上一个连杆 i-1 的坐标系绕
$z_{i-1}$ 轴旋转和沿
$z_{i-1}$ 轴平移后能让
$x_{i-1}$ 和
$x_{i}$ 重合。当你发现经过这样的变换不能让
$x_{i-1}$ 和
$x_{i}$ 重合时说明你的连杆 i 坐标系选择的原点有问题。上面这么说还是太晦涩了，我们举个例子。上面的六轴机器人连杆2的驱动轴和传动轴平行，连杆3的驱动轴和传动轴相交，我们就以这两个连杆为例来说明坐标系原点的确定过程。在这之前我们还是先把基坐标系和连杆1坐标系确定下来，通常基座的
$x$ 轴指向机器人的正前方。因此基坐标系很容易就确定下来了。连杆1的驱动轴和传动轴是异面直线，因此连杆1的坐标系
$x$ 轴也可以轻松地根据前面提到的叉乘公式确定。这样基座和连杆1的坐标系就确定完了，如下图所示。
8. 机器人正运动学---DH坐标系建立技巧接下来的连杆2和连杆3就比较特殊了。当你试图找到
$z_{1}$ 和
$z_{2}$ 的公垂线时你发现又无数条。对于这种平行的连杆怎么确定其
$x$ 轴呢？其实很简单，你的连杆 1 坐标系不是已经确定好了嘛，只需要过这个坐标系原点作垂线与
$z_{2}$ 相交就可以了。这其实是最简单的连杆，不要把这个问题想复杂了就好。如果不相信，你可以按照前面说的规则检验一下。连杆 2 的坐标系确定之后如下图所示。
8. 机器人正运动学---DH坐标系建立技巧接下来就是连杆3了，你会发现连杆3的驱动轴和传动轴是相交的。连杆3的
$x_{3}$ 方向是容易确定的，因为只要驱动轴和传动轴不平行我们就可以利用叉乘公式确定确定
$x$ 轴的方向。但是同样的，这样的
$x$ 轴有无数个，要怎么选择呢？你可以试一下选
$z_{2}$ 和
$z_{3}$ 的交点。先告诉各位这是对的。其实可以多找几个点，你会发现无论原点选在除这个点之外的任何地方，你要么需要在某个中间步骤向
$y$ 轴平移，要么就是最终你需要在
$z$ 轴方向再平移一段。这样我们就确定了连杆3的坐标系，如下图所示。观察后你会发现两个坐标系的原点重合，这说明连杆长度和连杆偏距都为0，这就是此类连杆的一个特点。
8. 机器人正运动学---DH坐标系建立技巧后面的连杆4也是类似的，驱动轴和传动轴相交，注意图里面的
$z_{3}$ 很不明显，不要把
$z_{2}$ 当成
$z_{3}$ 哦。叉乘后发现
$x_{4}$ 向下，原点当然也是在
$z_{3}$ 和
$z_{4}$ 的交点。后面的连杆也都大同小异。这里我就不一一介绍了。最后的六轴机器人DH坐标系建立完成后如下图所示。
8. 机器人正运动学---DH坐标系建立技巧最后我们写出这个机器人的DH参数表如下表所示。

连杆编号	$\theta$	$d$	$a$	$\alpha$	offset
1	$\theta_{1}$	$d_{1}$	$a_{1}$	$90^{\circ }$	0
2	$\theta_{2}$	0	$a_{2}$	0	$90^{\circ }$
3	$\theta_{3}$	0	0	$90^{\circ }$	0
4	$\theta_{4}$	$d_{4}$	0	$90^{\circ }$	$180^{\circ }$
5	$\theta_{5}$	0	0	$90^{\circ }$	$180^{\circ }$
6	$\theta_{6}$	0	0	0	0

关于offset项是叠加在
$\theta$ 上面的偏置量，你可以理解为机器人处于零位时，驱动轴和传动轴依然存在夹角。

2.4 小结

前面感觉啰嗦了很多，不知道有没有说清楚，这里简单总结一下：当连杆驱动轴和传动轴是异面直线，公垂线（唯一）就是连杆的
$x$ 轴；当连杆的驱动轴和传动轴平行时，找到上一个连杆的坐标系原点，向当前连杆的
$z$ 轴作垂线，垂足就是当前连杆原点，垂线就是
$x$ 轴；当连杆的驱动轴和传动轴相交时，交点就是连杆坐标系原点，驱动轴和传动轴的叉乘就是
$x$ 轴方向。这一块还是需要各位仔细去品味的，相信你经过不断的思考和尝试，一定可以变得通透。写这篇博客挺费力的，作图时间很长，但是我真的在这个过程里受益匪浅，对DH坐标系的理解也更进了一步。如果你一下子还不能完全理解，千万别着急，可以先放着，过几天再看，相信一定会有新的收获。

3. 总结

这篇文章我们主要介绍了DH坐标系建立的一些技巧，下一篇文章会介绍修改DH参数以及和标准DH参数之间的差别。由于个人能力有限，所述内容难免存在疏漏，欢迎指出，欢迎讨论。

8. 机器人正运动学—DH坐标系建立技巧

1. 引言

2. 建立DH坐标系的技巧

2.1 理清关节和连杆

2.2 画 z 轴

2.3 确定 x 轴

2.3.1 x轴方向

2.3.2 x轴起始点（坐标系原点）

2.4 小结

3. 总结

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1. 引言

2. 建立DH坐标系的技巧

2.1 理清关节和连杆

2.2 画 z 轴

2.3 确定 x 轴

2.3.1 x轴方向

2.3.2 x轴起始点（坐标系原点）

2.4 小结

3. 总结

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