目的
本文介绍机器人单关节轨迹规划中常用的几种方式。
1 多项式
多项式是最简单的函数了，一般用五次多项式表示一段轨迹[1] ，因为它刚好有6个系数，而我们的边界条件也是6个：起点和终点的位置s 0、s T，起点和终点的速度s˙0 、s˙T ，再加上起点和终点的加速度s¨0 、s¨T 。
通过求解这组线性方程就可以得到6个系数。
我们可以调整边界条件来观察曲线的形状，如下图。可见位置、速度、加速度、加加速度（Jerk）都是连续而且光滑的，这意味着机器人或者机床等机构在运动时比较平滑、不会有冲击。由此可见，多项式函数比较适合表示一段轨迹。
T = 10.0;
A = {{0 , 0, 0 , 0 , 0 , 1},
{T^5, T^4, T^3, T^2, T , 1},
{0, 0, 0, 0, 1, 0},
{ 5*T^4, 4*T^3, 3*T^2, 2*T, 1, 0},
{0 , 0, 0, 2, 0, 0 },
{20*T^3, 12*T^2 , 6*T, 2, 0 , 0}};
Manipulate[
Y = {s0, sf, v0, vf, a0, af};
Quiet[c = Inverse[A].Y];
s[x_] := {x^5, x^4, x^3, x^2, x, 1}.c;
vel[y_] = D[s[y], y];
acc[y_] = D[vel[y], y];
jerk[y_] = D[acc[y], y];
Plot[{s[x], vel[x], acc[x], jerk[x]}, {x, 0, T}, PlotStyle -> {Black, Red, Blue, Green}, PlotRange -> {{0, 10}, {-5, 18}}],
Grid[{{Control[{{s0, 0}, 0, 10, 0.01}], Control[{{sf, 10}, 0, 10, 0.01}]}, {Control[{{v0, 0}, 0, 4, 0.01}], Control[{{vf, 0}, 0, 4, 0.01}]}, {Control[{{a0, 0}, 0, 5, 0.01}], Control[{{af, 0}, 0, 5, 0.01}]}}], TrackedSymbols :> True]
物体在时域中的实际运动如下图所示。
Animate[Graphics[{Ball[{s[t], 0}, 0.2]}, PlotRange -> {{-1, 11}, {-1, 1}}], {t, 0, 10, 0.1}]
2 梯形速度曲线
多项式的优点是实现简单，但是缺点是大部分时间速度比较小，性能没有充分发挥，运动效率低。一种改进方法是利用分段多项式，此时速度为梯形，又称为梯形速度曲线。
Manipulate[
T = 10.0;
tb = (s0 - sf + V*T)/V;
a = V/tb;
s[t_] := Piecewise[{{s0 + a/2*t^2, t < tb}, {(sf + s0 - V*T)/2 + V*t, tb <= t < T - tb}, {sf - a/2*T^2 + a*T*t - a/2*t^2, T - tb <= t}}];
vel[t_] := Piecewise[{{a*t, t < tb}, {V, tb <= t < T - tb}, {a*(T - t), T - tb <= t}}];
acc[t_] := Piecewise[{{a, t < tb}, {0, tb <= t < T - tb}, {-a, T - tb <= t}}];
Plot[{s[t], vel[t], acc[t]}, {t, 0, T}, PlotStyle -> {Black, Red, Blue}, PlotRange -> {{0, 10}, {-5, 11}}], Grid[{{Control[{s0, 0, 10, 0.01}], Control[{{sf, 10}, 0, 10, 0.01}]}, {Control[{{V, 1.5}, 1.02, 2, 0.01}]}}], TrackedSymbols :> True]
3 s型曲线
梯形速度曲线的优点是可以在一段比较长的时间保持较大的速度，缺点是加速度不连续，加加速度在切换点的值是无穷大，这在实际应用中会造成冲击，容易造成机械设备损坏。我们可以让加速度也是连续的，同时尽量保持最大速度。此时加速度的形状是梯形，而速度呈S形，故得名S形速度曲线（[2]，也叫双 S 曲线或7段曲线[2] ）。
3 super-s型曲线
super-s曲线的加加速度是按照正弦曲线变化的[2] ，如下图中的绿色曲线所示。整个轨迹由7段组成。
4 s- γ 型曲线
分段多项式的优点是大速度可以保持一段比较长的时间，缺点是加速度不连续，或者说加加速度在切换点的值是无穷大，这在实际应用中会造成冲击，容易造成机械设备损坏。
5 参考资料
[1] Robotics, vision and control fundamental algorithms in MATLAB，Peter Corke.
[2] https://github.com/nameofuser1/py-scurveMotion
[3] Profile Design to Reduce Residual Vibration of High-Speed Positioning Stages，Huaizhong Li，IEEE/ASME TRANSACTIONS ON MECHATRONICS，2009.
[3] Trajectory Planning for Automatic Machines and Robots-Springer， by Luigi Biagiotti, Claudio Melchiorri，2008.
