机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化

Hello，欢迎做客我的博客！ 在动力学仿真中，我们不得不采用迭代的方法进行数值计算，这个时候我们会用到离散化的数学模型。 可是，我们在建立模型时，考虑的都是连续的情况，那么如何将一个连续的模型转换为离散模型呢？ 这篇文章将告诉你答案。

1 模型表示方法

1.1 连续模型

1.2 离散模型

  其中，$\Delta T$是采样周期。注意，由于输出方程本身就不是微分方程，所以不需要进行离散化，离散系统和连续系统的系数矩阵相同。

2 离散化方法

2.1 精确离散化方法

离散化的主要目标就是要保证离散化后的系统特性不变，具体而言，我们期望离散化后的系统和连续系统的系统状态$X$在$t=k\Delta T$的时刻下保持一致。   基于此思想，我们可以推导出离散化方法。   第一，连续模型的解可以表示为：     第二，取，由于我们希望离散化后的系统和原系统在t 0 t_0t0​和$t$时刻的系统状态相等，因此我们将二者代入上式，可到离散化系统的方程：     其中，。此外，在期间，控制量不变，为U [ k Δ T ]。   第三，令z = ( k + 1 ) Δ T − τ ，代入上式可得：     第四，取，可得离散系统方程为：     以上离散化方法被称之为精确离散化方法，与此相对的我们在实际应用中还常常用到一种近似离散化方法。

2.2 近似离散化方法

这种离散化方法的主要思想是用差分来代替微分，即：     于是，有：    

2.3 两种离散化方法的联系

事实上，精确方法是近似方法的推广，精确法甚至可以用到时变系统中。因此，我们通过某种简化，就可以把精确方法转换为近似方法。   我们知道：     把上式代入表达式，可得：     由于，假设采样周期Δ 很小，所以可以省略高阶项，于是得到：     可知，上式与近似方法取得的结果完全相同。

3 结论

事实上，我们在仿真中通常都是采用近似方法来迭代求解微分方程，那么这么做有没有问题呢？   在这篇文章中，我们看到，当采样时间很短时，近似方法是可以和精确方法等价的。   所以，只要采用较短的采样时间，我们可以使用近似方法进行模型的仿真！