干货 | “正运动学”——从关节空间到操作空间

本文转载自微信公众号ROBOTICS

前三篇文章（《从RP入门机器人学》、《位置角度平移旋转，“乱七八糟”的坐标变换》、《机械臂的坐标系与数学模型：传说中的DH参数》）啰啰嗦嗦地讲了链式机械臂的基本结构和基本数学工具，今天我们终于可以用数学方法来描述机械臂本身了。

所谓的正运动学，英文叫Forward Kinematics或Direct Kinematics，简单来说，就是你知道每个关节的位置（关节位置指平移关节的位移或旋转关节的转角），求末端执行器（end effector）的位置/朝向（position/orientation)。我们看一个简单的RR平面机械臂的例子：

首先，假设我们只关心end effector的位置(x_e, y_e)，那么在这样的设定下，我们的关节空间就是(θ₁, θ₂)，操作空间就是(x_e, y_e)。我们的任务是求从关节空间到操作空间位置关系的映射。上图中，假设每段link的长度都是1，我们可以用几何关系直接写出：

这样，只要知道(θ₁, θ₂)，我们就能求出(x_e, y_e)。我们轻轻松松就得到这个RR机械臂的正运动学公式！

不过，如果我们有四轴、六轴、甚至更多轴呢？如果我们的end effector操作空间有六个自由度呢？显然，这种情况下简单粗暴的几何法已经超越人类正常大脑的认知了。我们要如何表示这个映射，又要怎么计算呢？

这个时候，我们之前讲到的坐标变换和DH参数就该派上用场了！

对于六自由度的end effector（即操作空间有六个自由度），我们可以重新表述正运动学所解决的问题——那就是，我们需要求end effector的position and orientation相对于base frame、以joint position为变量的坐标变换（函数）。用数学语言描述，就是：

其中q是关节空间位置向量，就如同上面例子中的(θ₁, θ₂)；x是操作空间位置和朝向向量，如同上面例子中的(x_e, y_e)。由于表示三维的朝向/角度并不容易，我们可以暂且把x理解为end effector的坐标变换矩阵，这样我们就有了这个式子：

式子左边表示end effector的坐标w.r.t第0个坐标即base frame（如果你对这样的记法还不熟悉，强烈建议你再看看那篇坐标变换那篇文章）。

我们前面说对于六轴甚至更多轴的机械臂，直接写出这个f(q)很难。在DH参数那篇文章中，我们详细讲了如何用四个参数（其中一个为关节位置）给每一个关节附上一个坐标系。现在，这些坐标系正好可以帮我们简化求f(q)的问题：

DH参数坐标体系最方便的地方在于，我们可以直接将每一个T矩阵用DH参数表示——在写出这个矩阵之前，我们先复习一下：

现在我们要求两个有特定关系的坐标之间的坐标变换（画这个图我容易吗……，一定要结合上一张图看清楚每个变量都是指的哪里）：

上面这张图和这个公式意味着什么呢？意味着我们可以从每个关节的四个DH参数出发，最后得到一个机械臂的正运动学公式！就是这么简单( ▼-▼ )。

需要注意的是，实际应用中在写两个关节之间的T矩阵时，如果坐标系之间关系很简单（DH参数中有很多个0），那我们也常常可以用几何大法解决；至少可以用来凭直觉验证用DH法写出来的矩阵对不对——不要忘了这个重要的工具哦。

我们还是来看一个例子，就用我们上一篇用来讲DH参数坐标的那个机械臂好了——记得不管给你什么样的机械臂，不管是要求正运动学解（还是以及以后讲到的逆运动学解、瞬时运动学解、动力学……），第一件事就是给每个关节附上一个坐标系。附坐标系的方法呢，用我们讲的DH参数法通用简洁明了，用你自己的办法也完全可以。

我们还列出了DH参数表格：

我们现在的任务就是求用关节参数q表示的end effector w.r.t frame{0}的T矩阵。按照上文提到的方法，我们首先要用几何大法或DH大法把每两个相邻关节之间的T矩阵写出来（实话说，这个机械臂几乎每一个T都可以用几何法直接写出来……如果你清楚地记得旋转矩阵每一列的意义以及T矩阵最后一列平移向量的意义）。

为了方便，我们把cos都写成c，sin都写为s：

要求end effector的T矩阵，我们还需要一个end effector w.r.t frame{4}的T矩阵；不过这个矩阵非常简单，我就不帮大家写啦。最后，你可以把这些T矩阵都按顺序乘起来，就得到这个机械臂矩阵形式的正运动学解了。有了这个end effector w.r.t frame{0}（frame{0}通常是某个固定于基座的坐标系）的T矩阵，我们就可以从关节位置求得end effector的位置及朝向。

最后想要提的一点是，为什么从关节空间到操作空间就是“正”运动学呢？（相应的从操作空间到关节空间就是“逆”运动学。）因为从q到x的映射是唯一的：同样的q一定对应同样的x。这一点反过来却不成立：同样的x有可能对应不同的q；对于我们在第一篇文章中以人的手臂为例提到的redundant robot来说，同样的x甚至可以对应无数个q。所以，正运动学很简单，逆运动学很麻烦——机器人学有不少的一部分内容，就是在和麻烦的逆运动学作斗争。

正运动学虽然简单，但是它是我们之前两篇文章：坐标变换与DH参数的第一次结合。如果你想要学习机器人学，一定、一定把这两篇基础文章都弄清楚。

这篇文章就这么愉快地结束啦！