本文转载自微信公众号ROBOTICS
在进入今天的正题之前，CC想把上一篇文章没有讲得很清楚的问题说一下——那就是，机械臂的动力学到底研究什么？（上一篇文章在此：《机械臂的动力学（一）：牛顿欧拉法》）
对于一个质点，我们研究它受到的外力与它的运动之间的关系：它的动力学可以简单地用F = ma 来描述；
对于一个刚体，我们同样研究外力与运动之间的关系：它的动力学可以用上一篇讲的欧拉第一第二方程来描述；
对于一个机械臂，抽象地说我们还是研究外力与运动之间的关系——不过，这里的外力，可以是关节驱动器输出的力（或扭矩，下文都简称力），也可以是末端执行器受到的力；这里说的运动，可以是在关节空间描述的运动，也可以是在末端执行器的操作空间描述的运动。我们知道，关节的力与末端执行器的力可以通过雅可比矩阵转换；关节运动与末端执行器运动可以通过运动学转换；因此，上面任意组合的求解都是可以的.——选择哪一项取决于我们的控制回路所需要的输入和输出分别是什么。这其中最基础也相对容易求解的，就是在关节空间求解力与运动的关系。
因此，这篇文章所讲的机械臂动力学，是指机械臂关节输出的力和关节运动之间的关系。用一个函数表示，是
拉格朗日力学
上一篇文章中，我们用大家熟知的牛顿物理学方法试图求解机械臂的动力学；最终我们得到一系列的迭代表达式……我们还用只有一个旋转关节的“机械臂”作为例子，向大家展示了用这种方法求解有多么繁琐。由于牛顿力学对空间坐标系的依赖，我们很难用它来求解通用的解析解——我们需要更好的工具。
拉格朗日就是来拯救我们于牛顿欧拉之中的天使……
拉格朗日力学是分析力学的内容，本质上与牛顿力学是一样的，在物理上没有任何新内容。它从功和能量角度入手、引入广义坐标的概念，用数学分析方法重新表述了牛顿力学。它比牛顿力学好用的地方主要两点：不依赖空间坐标系，不需要分析系统内部的约束力。
推导拉格朗日力学有两条路径：历史上是先从牛顿力学和虚功原理推导出达朗贝尔原理（D’alembert Principle），再由拉格朗日在其基础上推导出拉格朗日方程。
达朗贝尔原理说：任何情况下，质点系主动力（外力）与惯性力所做的虚功之和为0，不需要考虑内部约束力，如下面式子所示。
拉格朗日从上面这个式子出发，假设主动力都是保守力（保守力所作的功与路径无关，只与起始位置有关），则经过一番数学推导（详细推导可以查看参考资料[2]）可以得到
其中V为系统势能，T为系统动能。
然后他发现将拉格朗日量设为系统的动能减去势能，即
则系统动力学方程可以写为
如果考虑主动力包括非保守力的情况，那么我们需要把这个力F加入到式子中
注意到上式右边第一项即是保守力的表达式。
那么从虚功原理出发会有：
把广义力Qk定义为
我们就会有
殊途同归，推导拉格朗日力学的另一条路径是从最小作用量原理（Principle of Least Action）出发，把作用量定义为拉格朗日量对时间的积分，然后求作用量的极值条件。注意到动能、势能都是系统运动轨迹的函数，作用量则是函数的函数（泛函），因此求极值需要用到变分法。这里毕竟不讲数学也不讲物理，就不再详细展开了……
拉格朗日法推导机械臂动力学
大略了解一下拉格朗日力学之后，我们就可以思考怎样用它来求解机械臂的动力学了。我们最重要的工具当然是上面最后一个式子，把它写成向量的形式：
第一个问题是，机械臂动力学所用的“广义坐标”是什么？注意到我们想要求的是关节输出的力与关节运动的关系，把关节空间选定为广义坐标看来是非常自然而然的事情（选广义坐标有一定标准，这里不讲）。这样，关节位置向量即为向量q，关节输出的扭矩则是广义力Q。用机械臂常用的符号表示，我们有
即
现在的问题是，在广义坐标里如何表述机械臂系统的动能T和势能V？
机械臂动能与质量矩阵
我们知道，单个质点的动能为1/2*mv^2。刚体的动能则可以通过类似上一篇文章的方法：把刚体看作无数质点的集合作体积分来求得。在笛卡尔空间，刚体的动能可以表示为
其中I为刚体的惯性张量。
知道了一个刚体的动能，机械臂这种多个刚体的动能自然是把每根连杆的动能相加：
现在我们的问题变成了如何用关节位置及速度表示连杆线速度v和角速度w——咦，这不是运动学问题么？是时候祭出我们的雅可比矩阵了。
（关于运动学，请参考这三篇文章：《“正运动学”——从关节空间到操作空间》、《“瞬时运动学”——还是从关节空间到操作空间》、《机械臂的雅可比矩阵这么厉害，怎么把它求出来呢？》）
在之前的文章中，我们主要关注机械臂的end effector位置/速度（操作空间）与关节位置/速度（关节空间）的关系，我们所求的雅可比矩阵也是从关节空间到操作空间的映射；但是在这里，我们关注的是每一根连杆的速度与关节位置/速度的关系，我们需要求的雅可比矩阵是从关节速度到连杆质心速度的映射，这个雅可比矩阵可以用与之前类似的方法求得。
首先是线速度雅可比矩阵，我们先写出连杆质心的位置，为了方便我们通常以机械臂的基座坐标系为参照：
再对关节位置求导得到雅可比矩阵
则连杆质心线速度可以写为
接下来我们来看角速度的雅可比矩阵，我们已经知道对于旋转关节它就是旋转轴向量，对于平移关节它是0。
注意这里左上角没有写参照系。
具体求解的时候，Jw应该在哪个参照系中呢？要求只有一个，它必须与惯性张量I所用的参照系一致。通常我们会在质心坐标系中求解惯性张量，所以我们可以用它作为参照系，把角速度写为：
这样，我们的机械臂动能方程变为
虽然左上角把参照系都写出来看来很繁琐，但我强烈建议你这么写，用错坐标系只会让你无论如何也得不到正确的结果。
最后，我们稍微整理一下：
并且，我们把上式中中括号括起来的部分定义为机械臂的质量矩阵（Mass Matrix）：
代入欧拉拉格朗日公式
有了机械臂动能的表达式，我们现在需要把它放回欧拉-拉格朗日公式中：
（都是向量求导——只能靠你们自己了！）
结果我们有
质量矩阵与关节加速度相乘的形式与质点的牛顿定律F=ma颇为相似；剩下的，我们把与关节位置和速度相关的量放到一起，记为向量v，则有
最后，鉴于机械臂所受到的势能主要指重力势能，我们用向量g来表示拉格朗日方程最后一项（势能对q的导数），最终（终于！）我们有
成就达成！这就是用拉格朗日法推导得到的机械臂动力学方程。
篇幅所限，这篇文章就写到这里——
v是什么？
g怎么求？
我们怎么理解质量矩阵M？
……
下一篇文章我们一起研究。
