干货 | 机械臂的雅可比矩阵这么厉害，怎么把它求出来呢？（雅可比矩阵中篇）

本文转载自微信公众号ROBOTICS

复习

       上一篇文章（《“瞬时运动学”——还是从关节空间到操作空间（雅可比矩阵上篇）》）我们从正运动学公式推导出瞬时运动学公式，推出了著名的雅可比矩阵，并举了一个特别简单的例子以提供直观印象。简单复习一下——

       瞬时运动学解决了如何从关节速度得到end effector速度的问题：

       其中，J表示雅可比矩阵（Jacobian Matrix)：

        雅可比矩阵的物理意义，举例来说，就是第5行第3列的值表示当第3个关节转动/平移足够小的一定量（微分概念）时，乘上这个值就等于end effector在第5个自由度上相应的转动/平移量。如果这样说太抽象，请回到上一篇看例子——非常简单，包你看懂：）

基本雅可比矩阵（Basic Jacobian）

定义

       你可能会想，上面说end effector的第5个自由度，到底是指哪个自由度呢？显然，这取决于你如何描述end effector的运动。举个例子来说，假如我们有一个全自由度的end effector（即有3个转动DOF，3个平动DOF），那我们可以定义前三个自由度为沿某个坐标系的x, y, z轴平移，后三个自由度为绕该坐标系的x, y, z轴旋转——这样当我说第5个自由度，就是指绕这个坐标系的y轴旋转。实际雅可比矩阵的结果，完全取决于你选取的坐标系以及你描述end effector运动的顺序。

       所以，我们把用笛卡尔坐标描述线速度（linear velocity）和角速度（angular velocity）、以机械臂的基准坐标系（Base frame或frame{0}）作为参照系来描述end effector速度所求得的雅可比矩阵，称为基本雅可比矩阵；其它所有表示方法（比如将笛卡尔坐标改为柱坐标、球坐标；角度改为欧拉角或四元数quaternion等）都可由这个基本雅可比矩阵转换得到。根据上面基本雅可比矩阵的定义，end effector的速度可以这么写：

      相应地，雅可比矩阵也可以写成：

      上半部分对应线速度、下半部分则对应角速度；从J的表达式中很容易可以看出来。

线速度部分（Jv）

       首先我们从较容易理解的上半部分J_v开始，还记得上一篇文章里的例子（上图所示机械臂），我们是怎样求出雅可比矩阵的吗？

·   先写出end effector位置的正运动学表达式——

·   再用操作空间的位置向量对关节空间的位置向量求导——

       根据瞬时运动学的定义，这个方法是非常直观的。那如果我们的机械臂复杂一点，需要用到齐次坐标变换来求正运动学公式呢？

       比如，这是我们的机械臂：

       这是我们求出来end effector的正运动学表达式（《“正运动学”——从关节空间到操作空间》），这里假设图中O_e和O₄是重合的：

      注意到旋转矩阵的部分全部打叉了——因为式子太长实在打不动——因为我们根本不需要啊。我们需要的，只有图中红色框框圈出来的部分，如果你坐标变换学得好，应该马上看出来它表示的是end effector的位置w.r.t frame{0}。

       所以，我们要求的J_v，只需要将红色框框圈出来的这个3×1向量(x_e, y_e,z_e)对关节空间向量(θ₁, d₂,θ₃,θ₄)即求导即可！按照向量求导的规则，我们将得到一个3×4的矩阵，如下所示。

角速度部分（J_w）

       说完了J_v，我们要来说下半部分的J_w了。这个矩阵其实更容易求，但是要理解它则需要一点小“技巧”。我们还是先从最简单的平面机械臂看起：

      ——此机械臂已成出镜率最高机械臂

      当然，这次我们只关心end effector的朝向。对平面机械臂而言，end effector只有一个转动自由度，即图中标出的α（设与x轴重合时为0°，从x轴转到y轴为正方向）。此时我们的操作空间是(α)，关节空间还是(θ₁,θ₂)；根据定义，我们要求的雅可比矩阵角速度部分如下：

       对于这个平面机械臂而言，我们很容易就可以看出：θ₁转多少角度，_α就会转多少角度；θ₂同理——所以J_w应为[1, 1]。

       举这个例子有什么用呢？希望它可以帮助你建立一个直观印象和基本观念——一个机械臂的旋转关节绕某个轴转多少角度，它的end effector就会相应地绕这个轴转多少角度；在平面机械臂的情况中，这表示一个旋转关节的转速乘以1即可得到它所引起（Contribute）的end effector转动的速度，因此上面的J_w为[1, 1]。

       在三维空间里，角速度定义为一个指向旋转轴的向量，其方向可以由右手定则确定。因为我们定义机械臂的每个旋转关节都是绕自身的z轴旋转的，所以当一个旋转关节转速为_ω时，它所contribute的end effector的角速度向量以这个旋转关节本身的坐标系为参照系必然为[0, 0, _ω]。换句话说，这个旋转关节的转速乘以[0, 0, 1]可得到它所引起的end effector的角速度（w.r.t 该旋转关节坐标系）。(end effector的实际转速可由不同旋转关节contribute的角速度线性叠加。）

       由于我们的基本雅可比矩阵是以frame{0}为参照系的，为了写出J_w，我们需要把每个旋转关节的z轴[0, 0, 1]，从以关节自身坐标系为参照系转换到基准坐标系frame{0}中表示。另外，对于平移关节，因为平移关节的运动不可能改变end effector的朝向，所以end effector的orientation对平移关节位置的求导一定是0！

       以前面出现的RPRR机械臂为例，它的雅可比矩阵角速度部分是这样的：

       你看明白了吗？

       现在我们剩下的最后一个问题就是怎么把各个关节的z轴坐标w.r.t frame{0}求出来——其实算过一遍各个关节的齐次坐标变换矩阵，我们不是早就知道答案了吗？

       帮大家写出两个：

总结

·   基本雅可比矩阵的上半部分J_v由end effector的位置向量对关节求导得出；

·   end effector的位置向量可由正运动学解得到

·   基本雅可比矩阵的下半部分J_w可由每个旋转关节的z轴以基准坐标系为参照系写出的单位向量得到

·   把J_v和J_w合起来可以得到一个m×n的矩阵，其中m是end effector/操作空间的自由度（对于空间机械臂通常m=6），n是机械臂的关节数量。

其它雅可比矩阵

       最后简单地提一下，得到Basic Jacobian后，要求其它形式的雅可比矩阵都不是问题，只需要乘一个转换矩阵就可以了。比如说，如果你的end effector位置是由柱坐标表示的，即(ρ,θ, z)，而柱坐标转换为笛卡尔坐标是：

       那么转换矩阵E_p（这里的p表示position）就由笛卡尔坐标对柱坐标的向量求导得出：

       而新的雅可比矩阵的上半部分就等于基本雅可比矩阵的J_v左乘上这个E_p。对于旋转也类似——大家了解一下就好，我不再详细展开了。