1.1、线性空间
给定非空集合V和域F，若存在映射\sigma：V×V→V、(V_1,V_2)↦σ(V_1,V_2)则称\sigma为V上的加法。
1.1.1 域
域： 有+，-，×，÷的一个运算系统。 那么什么不是域呢？ Z_+={0,1,2,3,4,…}这就不是个域，因为不存在除法、减法的运算，0-1不再Z_+的集合内了。 Z={0,±1,±2,…}这也不是个域，因为不存在除法的运算。 关于一个运算是否封闭是一个很重要的问题。 那有理数（rational number，两个整数的比）集呢？ 当然是！所以成为有理数域。故可以写做Q—— 这种叫黑板体，表示一个域的时候这样写。当然还有实数（Real Number）域R 和复数（Complex Number）域C。
1.1.2 卡氏积
×：集合的卡氏积（Cartesian Product）
就是形成的元素对。可以通过 把平面和坐标轴的轴线的关系联系起来 通过卡氏积来理解。 加法理解为映射（二元函数）\sigma：V×V→V，任意抽取两个值进行加法运算，应当理解为从VV的卡氏积里抽取一个“对”，是有顺序的。
1.1.3 ↦
↦： 需要注意→和↦的区别，第二个坐标多了一道；用法上：
这就能看出区别，两者都代表映射关系，→两边都是集合，↦两边都是集合里的元素。 举例：函数sinx是一个映射，我们这里使用定义域(−∞,∞)到值域[−1,1]的映射。那么π到0的映射就能写成 π ↦ 0。 我们需要把固有的概念改变一下，把加法看做二元映射.
1.1.4 线性空间
上面都是先导知识，那么设V是一个非空集合，P是一个数域，在V上定义了一种代数运算，记为“+”；定义了P与V到V的一种代数运算，成为数量乘法（简称数乘），记为“⋅”，如果满足“通常的运算规则”，则称集合V为数域P上的线性空间。 通常的运算规则： 熟知的加法交换律，结合律，分配率，有零元，有负元等等。 解释一下有零元，就是“存在e∈V，满足e+v=v”。其实就是零和任意元素相加都是该元素本身。这里是抽象的概念。 那么有负元，就是“对任意v∈V存在a∈V使v+a=e，e是零元，称作a=−v”。 对于数乘： 1、(v_1+v_2)⋅k=v_1⋅k+v_2⋅k，这里的加法都是向量的加法； 2、v⋅(k_1+k_2)=v⋅k_1+v⋅k_2，这里前者加法是两个数字相加，后者是向量的加法； 3、v⋅(k⋅l)=(v⋅k)⋅l，这里有四个乘，第一个、第三个、第四个是数乘；第二个是数字的乘法。
为什么做数乘时把数放在向量右边？？ 若向量为列向量，数乘法的数写在右侧，若向量为行向量，数乘法的数写在左侧。 原因：
可以看做一个[3,1]和[1,1]的矩阵相乘。 F(I,R_n)函数空间，I是一个区间，R_n是n个分量的域。例如：F([0,1],R^2)，元素为
,这里的f_1(x)和f_2(x)均是定义域为[0.1]的两个分量，函数空间囊括了如 f 一样的含有多个分量的在 I 区间下的函数元素。
这就是F(I,R_n)函数空间中的函数元素，是在 I 区间下的。 定义（向量组及向量组拼成的抽象矩阵） 设V是F上的线性空间，V中的有限序列α_1,α_2,…,α_n称为V中的一个向量组，向量组按顺序排成的行称为向量组拼成的抽象矩阵。
线性空间的目的是：将空间（笛卡尔坐标系）解析几何的方法抽象到一般线性空间里。
1.1.5 线性空间的相关性
向量组α_1,α_2,…,α_n称为线性相关，如果存在不全为零的p个数k_1∈F,i=1,…,p使得
向量组α_1,…,α_p称为线性无关，如果它不是线性相关的 线性相关：
注：(∃a)P(a)的否定为
,就是对任意的a都不具有P(a)的性质。 线性无关：
这里的0是线性空间中的0向量不是数域的0。 （逆否命题）若
（线性相关性的矩阵描述）
这是一个齐次方程组。 若线性相关则这个方程组有非零解；若线性无关则这个方程组只有零解。 两个向量组之间的线性表示： α_1,…,α_p；β_1,…,β_q；β 称 β 可由 α_1,…,α_p线性表示。 如果在 k_1,…,k_p∈F，使得 β=α_1 k_1+….+α_p k_p。 称 β_1,…,β_q可由α_1,…,α_p线性表示。 如果每个β_1都能由α_1,…,α_p线性表示。 （矩阵表达）
β可由{α_1}线性表示，这是一个非齐次线性方程组。
AX=B（矩阵方程有解） 线性表示是具有传递性的。
1.1.6 向量组的极大线性子组
向量组的极大线性子组： 从母序列中挑出一个子序列构成向量组，这个子序列构成的向量组为原来母序列的子组。 子组 β_1,…,β_s称为 α_1,…,α_p 的极大线性子组，若：
- {β_1}线性无关；
- 若 {γ_k}=γ_1,…,γ_t也是 α_1,…,α_p的子组，s<t ，则{γ_k}线性相关。就意味着在线性无关的范围内，{β_1}已经是最大的向量空间了。
极大性： ∀α_1∈{α_1,…,α_p}，α_1都可由{β_1}线性表示。（生成性） 母组可由极大线性子组线性表示。 向量组的极大线性无关组中向量的个数称为向量组的秩。
1.1.7 基与坐标
定义（有限维线性空间、基、坐标） V是数域 F上的线性空间，如果有正整数n，即V中的向量组 α_1,…,α_n使得：
- （无关性） {α_1}线性无关；
- （生成性）∀α∈V ，均可由{α_1}线性表示
则称V是 n 维线性空间。
- 线性空间的维数是唯一的。
- {α_1}成为 V 的一个基（坐标系）。
称为 α∈V 沿着该基的坐标向量。
[抽象向量] = [基矩阵] [坐标向量]
1.1.8 基实现抽象线性空间到标准线性空间之间的一一对应
对任意 (Arbitrary) 的s_2属于S_2，存在s_1属于S_1，使得s_1的项就是s_2。这称作满射(surjection)。 若\sigma(s_1)=\sigma(s_1′)则s1=s′1，这称作 单射(injection)。 F^n的标准基与一般基
是F^n的标准基。标准基向量拼成的基矩阵是单位矩阵。单位矩阵的列向量组是标准基向量组。 F^n是标准线性空间。 如果一个向量组满足秩和组内向量个数相等，则其向量组线性无关。（无关性） 如果 Ax=b 该方程组有解，则Rank(A)=Rank(A∣b)Rank(A)=Rank(A∣b)，矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，也就是方程组和未知数个数相等。 秩：行秩 = 列秩 = 秩。 无限维空间的例
, 且f可写成多项式}简单讲就是向量都是多项式，且定义域和值域都在
这个数域上。 
1.1.9 子空间
定义： 设V是F上的线性空间，W≤V是非空子集。若：
- 对加法封闭α、β∈W⟹α+β∈W。即在W中任意取两个元素，经过加法运算还在W内；数乘相似
- 对数乘封闭k∈F,α∈W⟹α⋅k∈W
则称W是V的一个子空间。
①向量组生成的子空间及子空间的生成组
（向量组生成的子空间及子空间的生成组） α_1,α_2,…,α_p是向量组，定义一个
是V的一个子空间。这就是向量组生成的子空间。 已知W，若有向量组 α_1,α_2,…,α_p,使得W=span{α_1,α_2,…,α_p} ，我们称α_i为子空间的生成组，生成组提供了子空间的一种表现方式。
②矩阵的核与像
矩阵的核与像。
的原因是
那么矩阵相乘就需要一个n行的x） 是
的子空间，这个子空间称作 AA矩阵的核。 也就是以A为系数的齐次方程组的解空间。 
这里的A_x实则是A的列向量组以x为系数的线性组合。A的像就是A的列向量组张成的子空间。
③子空间的交与和
设U、W、W是V的子空间 U∩W也是子空间，称为U、W、W的交（子空间）；
也是子空间，称为U、W、W的和（子空间）。
