Hello! 欢迎来到我的博客今天的内容关于机器人中常用的传感器IMU，我们用它来实现机器人姿态、速度、位置的估计。今天将会介绍使用低成本IMU进行机器人运动估计的一个常用方法——ESKF。

1 四元数基础

四元数，英文名称为：quaternion。正如一个单位复数可以表示在复平面上的旋转一样，单位四元数也可以用于表示三维空间中的旋转，并且由于其在更新过程中不会发生奇异现象，因此在惯性导航中被广泛使用。一般来说，四元数的表示方式有许多，其中最常用的是两种，一种是Hamilton，另一种是JPL。由于，在机器人领域中，无论是ROS，Eigen，Ceres等等项目中都用到的是Hamilton四元数，因此，这里后续文章中使用以及介绍的也是这种。以下介绍的都是在IMU运动方程以及ESKF中必要的关于四元数的知识，因此可能会过于简略，读者可暂时先跳转至第二部分阅读，遇到不明的四元数定义时，再回来查阅。

（1）四元数定义

其中，是系数，是虚部单位。一个四元数可以表示为实部和虚部，如下：记作向量形式则为：

（2）单位四元数

单位四元数可以作为一种旋转的表示方式，它可以转换为欧拉角，也可以转换为旋转矩阵。单位四元数的定义：

其中，是单位向量，而 θ 为一个标量。由此可知，单位四元数的模长为1。

（3）乘法

两个四元数乘法的记号为：⊗，乘法的具体定义为： 值得注意的是，两个单位四元数相乘还是单位四元数。

（4）纯四元数的指数函数

纯四元数的定义为，实部为0的四元数，即：
机器人运动估计——IMU运动方程与ESKF原理介绍（上）定义纯四元数的指数函数如下：其中：，为单位向量。

（5）单位四元数转旋转矩阵

注意，必须是单位四元数！！！

（6）单位四元数转欧拉角

由于欧拉角的定义方式也有很多，这里说明的是依据Z-Y-X定义的欧拉角，其中欧拉角与旋转矩阵的变换关系是：其中：为欧拉角，分别为横滚角(X)，俯仰角(Y)，偏航角(Z)。所以，四元数转欧拉角的关系为： 注意，必须是单位四元数！！！

2 IMU运动方程

2.1 关于IMU测量数据

在聊到IMU测量数据的时候，我们首先需要明白两个坐标系的定义。一是惯性系，二是IMU坐标系。这里的惯性系就是指静止或者其速度的改变可以忽略不记的坐标系。通常在机器人的应用中，由于所用的IMU都是低成本IMU，对于地球自转角速度不够敏感，所以可以认为与地面固连的坐标系都是惯性坐标系。然而对于，航空航天应用而言，用到的IMU精度很高，对于惯性导航的要求也很严格，则需要考虑地球自转角速度，这是惯性坐标系为地球惯性坐标系。 IMU测量的实际上就是IMU坐标系相对于惯性系的加速度和角速度。值得注意的是，这里的相对于惯性系的加速度不仅包括载体的运动加速度，还包括重力加速度。所以，我们需要特别注意，加速度计测量的不是载体的运动加速度，而是载体相对惯性空间的绝对加速度和引力加速度之和，称作“比力”。 通常，IMU的测量模型如下：其中，表示从惯性系到IMU坐标系的旋转矩阵。代表随机游走噪声，可以理解为加速度计和陀螺仪的零漂。a_n , ω_n为零均值高斯白噪声。g_t代表重力加速度，表示在惯性系下。这里关于 g_t的符号不用特别在意，这个负号并不是一定的，也可以写成正号，取决于 g_t的定义。

2.2 IMU运动方程

IMU的运动方程主要描述了物体速度，位置以及姿态在IMU测量数据的激励下产生的变化。除了关于四元数的部分以外，用到的知识就是小学二年级学过的物理知识。比如，位置的导数是速度，速度的导数是加速度。我们定义我们关心的状态量为：

$p_{t}$ ：表示IMU系相对惯性系的位置，在惯性系下表示的，默认是三维的
v_t：表示IMU系相对惯性系的速度，同样是在惯性系下表示的，默认是三维的
q_t：表示从IMU系到惯性系的四元数，表示从IMU系到惯性系的旋转变换

于是，IMU的运动方程可以表示如下：其中，R_t = R{ q_t}为基于 q_t得到的旋转矩阵，表示了从IMU系到惯性系的旋转变换。a_w, ω_w为零均值高斯白噪声。值得注意的是，在这组运动方程中，把 g_t也视作变化的量，后续基于此运动方程构造的ESKF也会对 g_t进行更新。这在许多IMU运动方程中是不常见到的，这样做有什么好处呢？首先，我们要明白 g_t并不等于 $[0, 0, 9.8]$ ^{$^{T}$}的值取决于IMU的初始姿态。这是因为，IMU运动方程是递推的方程，计算出来的位置和速度都是相对于初始状态的，而不是绝对的位置和速度。因此为了方便起见，我们通常都会定义初始时刻的IMU坐标系为惯性系，这样我们后面计算出来的虽然是相对于初始IMU系的位置和速度，但也可以作为绝对的位置和速度了。于是， g_t既然代表了惯性系下的重力加速度，也就是初始的IMU坐标系下表示的重力加速度，所以当初始IMU坐标系不是水平的时候， g_t自然也就不等于 $[0, 0, 9.8]$ ^{$^{T}$}了。进一步地，我们也可以知道，估计 g_t，也就是估计初始时刻IMU的姿态。既然我们通过可以 g_t估计了初始IMU的姿态，那么初始时刻的四元数就可以直接定义为 q₀=(1,0,0,0)。这种操作实际上就是，我们先假设初始时刻四元数为 q₀=(1,0,0,0)，然后在此基础上估计 g_t。当然，还有另外一种方法就是，先假设 g_t $= [0, 0, 9.8]$ ，然后估计初始时刻的IMU相距水平姿态相差多少。这两种方法都可以，然后估计 g_t的话可以使模型的线性化程度更好。