Hello! 欢迎来到我的博客今天的内容关于机器人中常用的传感器IMU，我们用它来实现机器人姿态、速度、位置的估计。今天将会介绍使用低成本IMU进行机器人运动估计的一个常用方法——ESKF。

3 Error State Kalman Filter（ESKF介绍）

3.1 动机与流程

使用IMU的初衷是为了求解载体的位置、速度、姿态等系统状态，然而由于IMU测量数据（包括加速度计和陀螺仪的测量数据）都带有大量噪声，直接利用IMU运动方程进行积分会随着时间发生显著的漂移。因此，为了避免漂移我们需要融合其他传感器的信息（如GPS、视觉），对IMU运动积分的结果进行修正。 Error-state Kalman Filter（ESKF）就是一种传感器融合的算法，它的基础仍然是卡尔曼滤波。它的核心思想是把系统的状态分为三类：

true state：实际状态，系统实际的运行状态
nominal state：名义状态，描述了运动状态的主要趋势，主导成分。（large-signal，非线性）
error state：误差状态，实际状态与名义状态之间的差值（small-signal，近似线性，适合线性高斯滤波）

基于以上状态分类，我们可以将关心的true-state，分为两部分，分别进行估计，即nominal state和error state，然后再进行二者叠加。 ESKF的全过程可以描述为如下步骤：

对高频率的IMU数据 $um\mathbf{u}_m$ 进行积分，获得nomimal state $x\mathbf{x}$ 。（注意：nominal state里面不考虑噪声，因此势必会累积误差。这部分误差可依据error state进行修正）
利用Kalman Filter估计error state，这里同样也包括时间更新和量测更新两部分。（注意：这个过程考虑了噪声，并且由于误差状态方程是近似线性的，所以可以直接用卡尔曼滤波）
利用error state修正nominal state，获取true state
重置error state

使用ESKF的优势：

error state 中的参数数量与运动自由度是相等的，避免了过参数化（over-parameterization or redundancy）引起的协方差矩阵奇异的风险。
error state 总是接近于0，Kalman Filter工作在原点附近。因此，远离奇异值、万向节锁，并且保证了线性化的合理性和有效性。
error state 总是很小，因此二阶项都可以忽略，因此雅可比矩阵的计算会很简单，很迅速。
error state 的变化平缓，因此KF修正的频率不需要太高。

3.2 状态定义

所有在ESKF中用到的变量定义如下：图片中定义了所以状态，包括true state，nominal state以及error state。以及error state和nominal state组合获得true state的方式。另外，图中的各个运算符在上一篇文章中均已有了定义。除了一个叉乘矩阵的符号，其定义如下：

图片来自于参考文献[1]的P31。

3.3 Nominal State 积分更新（每个时间步都要执行）

3.3.1 Nominal state 方程（连续时间）

其中，是基于 $生$ 成的旋转矩阵，表示从IMU系到惯性系的旋转。注意到，这组方程完全没有考虑噪声。这组方程的推导是显而意见的，只需要在IMU运动方程的基础上，假设噪声项全部为0即可。

3.3.2 Nominal state 方程（离散时间，用于写程序）

其中，定义，所以：其中，

实际上，上面这个操作就是把角度增量改造成单位四元数，两个单位四元数相乘仍然是单位四元数，这样才能保证始终为单位四元数，保证迭代是收敛的。

3.4 Error State 时间更新（每个时间步都要执行）

3.4.1 Error state 方程（连续时间）：

这个误差方程，考虑了噪声等不确定性。其形式看起来似乎不太直观，但实际上推导也很简单。 比如，以位置为例： 所以其导数为： 再比如以速度为例： 所以其导数为：其中，用到了。此外，还用到了两个小量相乘可以忽略的假设。

其它方程的推导，就不在此说明了，可以参考文献[1]的P33页。

3.4.2 Error state 方程（离散时间，用于写程序）：

定义状态向量：于是误差状态方程可以写作：其中: 中，代表随机脉冲，他们的均值为 0，协方差矩阵为对角阵。另外，定义：这是一个微分方程的闭合解，利用这个解进行递推会更精确。当然，也可以只取前面两项。

3.4.3 对于Error state的卡尔曼滤波器的时间更新（用于写程序）

误差状态更新协方差矩阵更新这个就是很基础的卡尔曼滤波方程了，不了解的可以移步我的博客：机器人运动估计系列（番外篇）——从贝叶斯滤波到卡尔曼（上）

3.5 Error State 量测更新（只有测量值到来的时间步需要执行）

由于IMU的数据中夹带了大量噪声，我们需要利用更多的传感器的信息，来对状态进行修正。而这些传感器中常用的组合包括：GPS+IMU，单目视觉+IMU，双目视觉+IMU等。

3.5.1 量测方程

通常，量测方程的基本形式如下：其中是量测函数，与传感器有关。是高斯白噪声，为为了实现量测更新，我们需要求对的导数，所以有：其中是量测函数的雅可比矩阵，根据传感器的不同而具有不同形式。 $\left.\mathbf{H}_{\mathbf{x}} \triangleq \frac{\partial h}{\partial \mathbf{x}_{t}}\right|_{\mathbf{x}}$ 而
则可以表示为：