在前述文篇《解构波士顿动力机器人（一）》中简述了BigDog的技术原理，然而“踹不倒”、在复杂地形行走的运动控制却是技术核心。本文将从Little Dog机器人为本体，分析运动控制的技术细节。  

一、概述

  LittleDog是由Boston Dynamics Inc.（BDI）开发的四足机器人，如图1所示，整体结构重约3千克，高约30厘米，采用高增益伺服电机为每个关节提供动力，集成了Vicon运动捕捉系统，该系统由固定在实验区域周围的六个摄像头和一台用于处理图像的计算机组成。   LittleDog的身体和腿部有22个反光球。运动捕获系统会检测这些标记，并根据已知模型确定机器人的姿势和关节角度。每个关节还安装有光学编码器和测量电池电压等仪器的传感器，每只脚的底部安装有单轴力传感器用来测量腿部上的力与地面接触角度；机器人前端安装有红外接近传感器，可以检测到大约50cm范围内的物体；还有一个由一组加速度计和陀螺仪构成的机载惯性测量单元（IMU），用于提供了身体方向、角速度和线性加速度的数据。  

图1 LittleDog整体外观图^[1]

二、运动控制

1.机器人本体建模

  LittleDog机器人具有12个执行器（每个臀部两个，每个膝盖一个），相应的，每条腿具有三个自由度——髋部roll和pitch，膝部弯曲，腿部自由度示意图如图2所示（图左为髋部RX自由度，右为髋部和膝关节的旋转自由度）。此外，身体上有6个自由度，每条腿除了3个自由度外，还有小腿部分的弹簧（沿小腿方面的伸缩）充当1个自由度，由此总共有22个自由度。  

图2 腿部自由度示意图^[2]

假设腿部弹簧过阻尼，同时为了使模型尽可能简单（低维），使用平面五连杆刚体链模型（通过连接连杆的旋转关节和自由基础关节）来模拟机器人的动力学，如图3所示。该平面模型假设前腿和后腿分别同步运动，将前后双腿分别简化为前后单腿。在模型中，每条腿依靠一个臀关节与身体连接，每条腿上还有一个膝关节。另外，由于实际的机器人足部是一个橡胶涂层的球，该球与一个小的弹簧（力传感器）连接，该弹簧受约束而沿着胫骨的轴线移动。弹簧阻尼很大并且行程范围有限，因此在计算机器人的运动学时不会考虑它，但由于弹簧对于计算地面力时不可忽略，此处仅考虑了弹簧的长度。因此模型状态变量共有7个，分别是关节角q₁，q₂，q₃，q₄，身体俯仰角w，后足的（x,y）_。

图3 简化模型示意图^[3]

  图中，状态空间为X=[q, ̇q,l], 其中q=[x，y，ω，q₁，q₂，q₃，q₄l，l=[l₁，l₂].  

(1) 电机建模

  用电机模型描述驱动关节的运动，这些关节的运动在五连杆系统中进行了规定，因此，在将动力学进行正向集成时，将反向计算关节扭矩，并精确遵循模型指定的关节轨迹。   由于电机较高的传速比（约为70：1），可以忽略惯性联轴器的作用力和机器人上的外力，将电机与PD控制器建模为线性二阶系统，可表示为  
  其中，u为关节的目标角度，q为状态变量（角度、角速度、角加速度），b，k为PD控制器参数，i为关节数，i=1,2,3,4   由于电机存在物理限制，因此将关节的加速度、速度考虑入内。需要注意的是，膝关节和臀关节使用的是不同的电机，而四条腿同一部位使用的是相同的电机。电机参数可表达为[b,k,v_lim,a_lim]。  

(2) 地面接触模型

  当脚与地面接触时，将从地面接触模型计算出的力施加到五连杆链上。由于关节速度的限制，LittleDog至少会有一只脚与地面接触，而无法出现四脚腾空的跳跃动作。   假定地平面是可压缩的，LittleDog上的脚是直径约2cm的小橡胶球。 当腿部与地形的角度发生变化时，球会滚动，从而产生明显的位移。 为了去除球部半径的等距偏移，在给定地形高度图γ（x）等效一个新的地形高度图γ^∗（x），使得其上的每个点都与原始地形相距一个球半径r_b。对于平整地面，γ^∗(x)=γ(x)+r_b，对于非平整地面，则r_b²  
  假定地面和脚之间的摩擦力是速度的平滑函数，并且与地面相切，则摩擦力可表示为：  
  式中，F_f为摩擦力，N为地面表面法向力，K_f和K_d是模型参数，s是接触速度。为了拟合数据，命令机器人将双腿伸直并放在倾斜的表面上。 测量了各种坡度的稳态速度以及法向力和切向力，并与摩擦模型进行了拟合，发现在较高速度时，摩擦方程类似于库伦摩擦方程；而随着速度下降，摩擦力也开始下降。当速度为0时，摩擦力方向平稳改变。  

图4 摩擦力与地面接触速度关系曲线图^[3]

  地面接触模型如图5所示，足部中心[px，py]连接到长度为l、与地形成θ角的胫骨弹簧上（建模为非线性弹簧阻尼器），该脚穿入地面一定距离，该距离被模拟为可压缩平面。与速度有关的摩擦力施加在地面接触点。地面接触点的地形角等于α（未在图中显示）。每只脚的中心是根据机器人的当前状态计算得出的。  

图5 地面接触模型^[3]

  每当脚的中心[px，py]低于地形时，py <γ*（px），则认为该脚在碰撞中。假设弹簧是无质量的，因此作用在弹簧上的力之和为零，则：  
  式中，F_f为摩擦力，N为地面表面法向力，M为弹簧力，P为弹簧壳体施加在脚上的垂直力。   其中，法向力  
  式中，h是穿透深度，h’是穿透率变化率，K_h和ζ_h是常数。穿透深度h是脚中心与高度图之间的垂直方向最短距离γ^∗（x）。 由于实际机器人的脚无法与地形重叠，因此假定任何重叠都是由于腿，橡胶脚或地面的弹性变形引起的。另外，h’是足部中心速度的函数，需要知道机器人的运动状态才能计算得出，因此法向力需要改写成：  
  此外，机器人足部的弹簧受其行程范围的限制，可能会达到运动极限， 弹簧在其行程范围内被建模为线性，假设静止长度为l₀，从静止位置的位移为δl= l-l₀，并且δ_lis的行进范围在0和l_max之间，则弹簧力M由下式给出  
  为写成同法向力N相似的形式，可改写为：  
  注意到M⊥P，F_f⊥N，弹簧与地面之间的夹角为θ-α，将上式整理可得：  
 

三、总结

  本文主要针对Littledog的运动控制做了简述，从机械本体结构进行建模，构建控制模型架构，在实操中，机器人还需要结合机器视觉和路径规划算法共同作用，从而穿越不同地形的障碍，达到高能行走的效果。下一篇将根据本文所建的控制模型，从路径规划算法+机器视觉的角度解析Littledog的自识别越障功能。  

参考文献

[1] Rebula J R , Neuhaus P D , Bonnlander B V , et al. A Controller for the LittleDog Quadruped Walking on Rough Terrain[C]// IEEE International Conference on Robotics & Automation. IEEE, 2007. [2] Shkolnik A , Levashov M , Manchester I R , et al. Bounding on Rough Terrain with the LittleDog Robot[J]. International Journal of Robotics Research, 2011, 30:192-215. [3] Shkolnik, Alexander et al. “Bounding On Rough Terrain With the LittleDog Robot.” The International Journal Of Robotics Research 30.2 (2011) : 192 -215. Copyright © 2011 by SAGE Publications