一、复合摆线轨迹

  在四足机器人的研究中，有一个很关键的问题，就是如何减少足端在触地瞬间的冲击，避免把机器人把自己给蹬倒了？这时候就需要一个合理的足端轨迹规划。本篇将会介绍几种足端轨迹。   本文将对四足机器人的足端轨迹进行规划。将数学中的复合摆线和多项式曲线引入到足端轨迹的规划中，根据零冲击原则[2]，规划出 3 条满足要求的足端轨迹，包括：  

• 复合摆线轨迹
• 八次多项式轨迹
• 分段五次多项式轨迹

  本篇先介绍第一个 该轨迹是摆线方程的延伸，我们先来看什么是摆线  

2.1、摆线

  摆线，又称旋轮线、圆滚线，在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种。   看以下动图就知道摆线是如何来的：  
  红色线即为摆线轨迹，总结成数学公式为：  

x = r(t-\sin t)

y = r(1-\cos t)

2.2、足端轨迹约束方程

  为达到理想的步态，足端轨迹规划需要满足：  

• ① 行进平稳、协调，无明显的上下波动、左右摇晃和前后冲击；
• ② 各关节没有较大冲击，特别是摆动相抬腿和落地瞬间实现零冲击抬腿和落地软 着陆；
• ③ 摆动腿跨步迅速，足端轨迹圆滑，关节速度和加速度平滑连续无畸点；
• ④ 避免足端与地面接触时产生滑动，无摆动腿拖地现象。

  规定在0 \sim \frac{T}{2} ，足端处于摆动相，在\frac{T}{2} \sim T ，足端处于支撑相。设水平方向为 X 方向，竖直方向为 Y 方向，根据四足机器人足端运动位置的要求，可确定足端轨迹在水平方向(X 方向)和竖直方向(Y 方向)的位移方程有以下约束。  

2.2.1、水平x方向

  位置约束

x|_{t=0} = 0

x|_{t=T/2} = S

x|_{t = T}=0

  速度约束

\dot{x}|_{t=0} = 0

\dot{x}|_{t=T/2} = 0

\dot{x}|_{t = T} = 0

  加速度约束

\ddot{x}|_{t=0} = 0

\ddot{x}|_{t=T/2} = 0

\ddot{x}|_{t = T} = 0

2.2.2、竖直y方向

  位置约束

y|_{t=0} = 0

y|_{t=T/4} = H

y = 0,T/2\leq t\leq T

  速度约束

\dot{y}|_{t=0} = 0

\dot{y}|_{t=T/4} = 0

\dot{y} = 0,T/2\leq t\leq T

  加速度约束

\ddot{y}|_{t=0} = 0

\ddot{y}|_{t=T/4}= 0

\ddot{y} = 0,T/2\leq t\leq T

2.3、复合摆线轨迹

2.3.1、摆动相轨迹设计

  基于第二节中提到的原则，文献[1]中提出了一种基于复合摆线形式的轨迹规划方法，并在文献[2]中得到了验证和使用。针对机器人足底与地面接触时会产生滑动和行走过程中拖地问题，文献[2]对复合摆线规划方法提出了修改，修改后的摆动腿的步态规划轨迹定义为：  

x = S\left [\frac{t} {T_m}-\frac{1}{2\pi}\sin(\frac{2\pi t}{T_m}) \right ]

y = H\left [ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(\frac{2\pi t}{T_m})\right ]

  其中S为步幅， H为抬腿高度，T_m为摆动相周期。现在我们来看提下它的图像，设定S = 100， H = 30， 周期T=2。 我们用python绘制该轨迹的图像如下：  
  为了更好地研究该轨迹的特性，我们接下来依次看x，y关于时间的位置，速度，加速度  
 

2.3.2、轨迹改进

  从表达式上分析，该轨迹的加速度方程是余弦函数的倍数，在 t=0 和 t=Tm时刻会出现加速度跳变，根据F=Ma，这就导致了抬腿的瞬间要求产生较大的接触力。   从加速度图像亦能说明这一点。针对这一问题，文献[5]对 y 方向的位移方程提出了以下修改。 由于摆动腿在 y 轴运动需要先抬腿再落腿，借鉴 x 轴正弦方式运动的方法求解 y 轴位移曲线   先从加速度函数入手，我们设计成如下形式：  

\ddot{y} = A\sin(\frac{n\pi t}{T_m})

  对上式进行积分求得速度函数：  

\dot{y} = \frac{AT_m}{n\pi}\left [ -\cos(\frac{n\pi t}{T_m})\right ] +C_1

然后根据速度约束\dot{y}|_{t=0} = 0以及\dot{y}|_{t=T_m} = 0，求出C_1

C_1 = \frac{AT_m}{n\pi} \quad n=2k \quad k=1,2,…

  对速度函数进行积分，求得位移函数为：  

y = \frac{AT_m}{n\pi}\left [t -\frac{T_m}{n\pi}\sin(\frac{n\pi t}{T_m})\right ] +C_2

而根据轨迹约束y|_{t=0} = 0, y|_{t=T_m/2} = H, y|_{t=T_m} = 0我们无法求解出参数A和C_2，因此通过分段函数的方法求y轴方向的曲线方程：  
  为了确定n的取值，我们来看看n取不同值时的速度图像 取T = 2，H = 1， S = 1  
  可以看出，当n越大时，y方向上的速度变化就越频繁，这可能会导致系统能耗的增加。   再来看位移图像：  
  从位移图像来看，只有当n取4时，轨迹才是平滑的。因此我们可以确定轨迹的最终形式为：  
  其中 f_E(t) = \frac{t}{T_m}-\frac{1}{4\pi}\sin(\frac{4\pi t}{T_m})  
  我们取H=30, S=100, T=2来验证上式：
 
  这里我们发现速度图像与确定n值时给出的不一致，那是因为我们在y的轨迹方程中使用了分段函数，对t>\frac{T_m}{2}部分进行了取反，因此该部分的速度和加速度图像是沿横轴进行了翻转的。  

2.3.3、支撑相足端轨迹

  相比于摆动相的足端轨迹，支撑相的设计就显得稍微简单。首先我们要知道两点：  

a、支撑相水平方向上的位移曲线与摆动相的关于t=T_m对称。 b、竖直方向的位移适终为0

  基于这两点，我们可以设计出如下曲线：  
 

2.3.4、周期轨迹

  定义步态周期为T，支撑相，摆动相周期均为T_m ，则T = 2T_m  

关于周期：摆动相T_f，支撑相T_s的持续时间不一定要设为一致，可根据控制器模型实时动态调节。这种情况下T = T_f + T_s

  我们对时间进行周期化处理：  

t_i = (t+ \varphi_i)modT_i

  其中，t为系统时间，t_i为第i条腿的轨迹规划时间，以LF腿的相位为初始值，则\varphi_i为各腿相位落后于LF腿的时间与步态周期的比值。  
 
 

总结

  通过对轨迹方程的改进及其图像的分析，我们最终得到了一个平滑，且冲击较小的复合摆线轨迹，尽管这里给出完整的周期轨迹，但是解决方案如果是结合MIT控制器的话，可以不考虑支撑相，即周期控制部分，仅考虑摆动相轨迹。  
 

参考文献

[1] SAKAKIBARA Y，KAN K，HOSODA Y，et al. Foot trajectory for a quadruped walking machine[C] // Proceedings IROS ‘90. IEEE International Workshop on，July 3-6，1990，Ibaraki，Japan. New York，NY，USA：IEEE，1990：315-322. [2] 何冬青，马培荪. 四足机器人动态步行仿真及步行稳定性分析[J]. 计算机仿真，2005(2)：146-149. HE Dongqing ， MA Peisun. Simulation of dynamic walking of quadruped robot and analysis of walking stability[J]. Computer Simulation，2005(2)：146-149. [3] 李贻斌，李彬，荣学文，等. 液压驱动四足仿生机器人的结构设计和步态规划[J]. 山东大学学报，2011(5)：32-36，45. LI Yibin，LI Bin，RONG Xuewen，et al. Mechanical design and gait planning of a hydraulically actuated quadruped bionic robot[J]. Journal of Shandong University，2011(5)：32-36，45.