一、引入

假设有6个函数，每个函数有6个独立的变量，即：

y1​=f1​(x1​,x2​,x3​,x4​,x5​,x6​) y2​=f2​(x1​,x2​,x3​,x4​,x5​,x6​) ⋮ y6​=f6​(x1​,x2​,x3​,x4​,x5​,x6​)​   我们用矢量形式表达上式，即：   $$Y=F(X)$$   现在，如果我们要计算yi​的微分关于xi​的微分的函数，通过多元函数求导法则，可以计算出：  
  同样，我们以矢量形式表示：  
  式（1）中的
偏导数矩阵。它，就是我们所说的雅克比矩阵J     

速度映射

  如果f1​(X)到f6​(X)都是非线性函数，那么，这些偏导数都是关于xi​的函数，我们可以用以下式子表达：   $$\delta Y=J(X)\delta X\text{\hspace{1em}(2)}$$   式（2）两边同时除以时间微分dt​，我们就可以将雅克比矩阵看作是X 中的速度映射为Y 中的速度：  
 

在任一瞬间，X都有一个确定的值，$J(X)$是个线性变换，在每一新时刻，如果X发生改变，$J(X)$也会发生改变

  在机器人学中，通常使用雅克比将关节速度与操作臂末端的速度联系起来：  
  其中，$\Theta$为关节角组成的向量，v 为速度向量。对于6关节机械臂，雅克比矩阵为
而v 是由一个$3\times 1$的线速度和一个$3\times 1$的角速度所组成，表达为：  
  对于两连杆机构，如下图，我们很容易写出它的关节速度(世界坐标系下)与执行器末端速度的关系：  
  以及相对于执行器末端的速度：  
  因此，我们能够算出世界坐标系的雅克比矩阵为：  
  末端执行器坐标系下的雅克比：