引言

我们已经知道如何已知角度去推算机械臂末端的位置，那么如何由位置反推出机械臂到达需求位需要的角度呢？  

逆向运动学

基本过程就是已知手臂末端点的位置{H}（机器手head）或者该坐标系相对于世界坐标系{W}的向量，求出关轴的角度
。根据题目题目难度，有时候可以直接求解出角度
，有时候需要借助
矩阵算出角度
。   其中求解方法大致分为如下几种方法：解析法（几何法、代数法等）和数值法。  

目录

几何法

代数法

数值法

综合例题

Tips:从多个解中选择的方法

几何法

顾名思义，直接利用几何关系和定理求解即可。在这里直接引出经典的PUMA机械臂案例。 【举例】已知
、
、
，如何求
、
、
。(
、
为坐标点、
=
+
+
)  
  【求解过程】  
  上图表明了
取决于
的正负。当
<0时，
属于绿色三角形。当
>0时，
属于蓝色三角形。 得到如图关系式后，就可以开始代入求解了。  
 

代数法

  【例题】和上面例题一样  
  【求解过程】  
 
  代数，并使用极坐标知识，可以得出：（小声bb:现在才知道高中数学的重要性….）  
 
 

数值法

列出每个关节的T矩阵，让电脑自己往里面带入数据，数字一个一个跑，直到求出解为止。   反算出
的方法不止一种。由于数值法对电脑算力有要求，解析法（几何法、代数法）因为不需要举出大量数字让计算机去逼近求解，而且求逆矩阵快，所以大部分情况下使用的是解析法求解。然而想要让机械臂能够使用解析法求解，机械臂的设计就要满足一个条件——存在相邻的三轴相交于同一点，这个也称为 Pieper’s Solution。   相关例子 使用经典的符合Pieper条件的PUMA手臂作为例题 ，有
=
。 由于前三轴是负责移动的，后三轴负责转动的，为了方便分两步走。   （1）求解
、
、
（代数法） 由之前讲过的T矩阵的特性，可以得出这个：  
  使用代数法运算，为了方便求解，我们先定义好代数式 f, g  
  可以知道f 是有关
的函数，g为有关
、
的函数，展开有：  
 
  在这里先假设代数 K：  
 
  然后加入并定义代数 r，就有：  
  可以知道r是有关
、
的函数。 由于高度Z本身和
有关，所以它也是一个有关
、
的函数。  
  到这一步我们已经得到两个不用考虑
，且与
、
有关的函数了，联立起来，有：  
  即可联系已知求解
，然后再依次求解出
、
。  
  （2）求解
、
、
由上式已知我们的
、
、
，并且我们的4，5，6关节都符合pieper条件，就可以直接通过下式算出答案：  
  【这里的求解过程参考（2）】  

综合例题

 
  【解题过程】  
 
 
 
 
 
 
 

Tips:从多个解中选择的方法

 
  感谢：课程内容、PPT来自林沛群教授的课程《机器人学》!!!