(《视觉SLAM十四讲》第三讲习题7)设有小萝卜一号和二号在世界坐标系中。一号位姿q1 = [0.35, 0.2, 0.3, 0.1],t1=[0.3, 0.1, 0.1]。二号位姿q2=[-0.5, 0.4, -0.1, 0.2], t2=[-0.1, 0.5, 0.3].某点在一号坐标系下坐标为p=[0.5, 0, 0.2].求p在二号坐标系下的坐标
假设在世界坐标系中p点的坐标为P。
用四元数做旋转则有(在Eigen中四元数旋转为q×v,数学中则为q×v×q^-1):
- q1 × P + t1 = p1
- q2 × P + t2 = p2
由上两式分别解算出:
- P = q1^-1 × (p1 – t1)
- P = q2^-1 × (p2 – t2)
两式联立求解则得到:
p2 = q2 × q1^-1 × (p1 – t1) + t2
如果用欧拉矩阵(设一号欧拉矩阵为T1,二号欧拉矩阵为T2)则有:
- p1 = T1 × P
- p2 = T2 × P
求解P:
- P = T1^-1 × p1
- P = T2^-1 × p2
联立求解则有:
p2 = T2 × T1^-1 × p1
以下则是用Eigen实现的代码:
#include <iostream>
using namespace std;
#include <eigen3/Eigen/Core>
#include <eigen3/Eigen/Geometry>
int main()
{
//四元数
Eigen::Quaterniond q1 = Eigen::Quaterniond(0.35, 0.2, 0.3, 0.1).normalized();
Eigen::Quaterniond q2 = Eigen::Quaterniond(-0.5, 0.4, -0.1, 0.2).normalized();
//平移向量
Eigen::Vector3d t1 = Eigen::Vector3d(0.3, 0.1, 0.1);
Eigen::Vector3d t2 = Eigen::Vector3d(-0.1, 0.5, 0.3);
//目标向量
Eigen::Vector3d p1 = Eigen::Vector3d(0.5, 0, 0.2);
Eigen::Vector3d p2;
//打印输出
// cout << q1.coeffs() << "\n"
// << q2.coeffs() << "\n"
// << t1.transpose() << "\n"
// << t2.transpose() << endl;
//四元数求解
p2 = q2 * q1.inverse() * (p1 - t1) + t2;
cout << p2.transpose() << endl;
//欧拉矩阵
Eigen::Isometry3d T1 = Eigen::Isometry3d::Identity();
Eigen::Isometry3d T2 = Eigen::Isometry3d::Identity();
T1.rotate(q1.toRotationMatrix());
T1.pretranslate(t1);
T2.rotate(q2.toRotationMatrix());
T2.pretranslate(t2);
// cout << T1.matrix() << endl;
// cout << T2.matrix() << endl;
//欧拉矩阵求解
p2 = T2 * T1.inverse() * p1;
cout << p2.transpose() << endl;
}
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
以上使用变换矩阵Eigen::Isometry3d,下面使用四元数、旋转矩阵进行坐标变换
Eigen::Quaterniond
Eigen::Quaterniond q1 = Eigen::AngleAxisd(3.141593/2.0, Eigen::Vector3d::UnitZ()) *
Eigen::AngleAxisd(0.0, Eigen::Vector3d::UnitY()) *
Eigen::AngleAxisd(0.0, Eigen::Vector3d::UnitX());
Eigen::Vector3d t1 = Eigen::Vector3d(2, 2, 0.0);
Eigen::Vector3d p1 = Eigen::Vector3d(1, 0.0, 0.0);
Eigen::Vector3d pw;
pw = q1 * p1 + t1;
Eigen::Matrix3d
Eigen::Matrix3d r = (Eigen::AngleAxisd(3.141593 / 2.0, Eigen::Vector3d::UnitZ()) *
Eigen::AngleAxisd(0.0, Eigen::Vector3d::UnitY()) *
Eigen::AngleAxisd(0.0, Eigen::Vector3d::UnitX())).matrix();
Eigen::Vector3d t1 = Eigen::Vector3d(2, 2, 0.0);
Eigen::Vector3d p1 = Eigen::Vector3d(1, 0.0, 0.0);
Eigen::Vector3d pw;
pw = r * p1 + t1;