决策树算法借助于树的分支结构实现分类。下图是一个决策树的示例，树的内部结点表示对某个属性的判断，该结点的分支是对应的判断结果；叶子结点代表一个类标。

上表是一个预测一个人是否会购买购买电脑的决策树，利用这棵树，我们可以对新记录进行分类，从根节点（年龄）开始，如果某个人的年龄为中年，我们就直接判断这个人会买电脑，如果是青少年，则需要进一步判断是否是学生；如果是老年则需要进一步判断其信用等级，直到叶子结点可以判定记录的类别。

决策树算法有一个好处，那就是它可以产生人能直接理解的规则，这是贝叶斯、神经网络等算法没有的特性；决策树的准确率也比较高，而且不需要了解背景知识就可以进行分类，是一个非常有效的算法。决策树算法有很多变种，包括ID3、C4.5、C5.0、CART等，但其基础都是类似的。下面来看看决策树算法的基本思想：

• 算法：GenerateDecisionTree(D,attributeList)根据训练数据记录D生成一棵决策树.
• 输入：
  • 数据记录D，包含类标的训练数据集;
  • 属性列表attributeList，候选属性集，用于在内部结点中作判断的属性.
  • 属性选择方法AttributeSelectionMethod()，选择最佳分类属性的方法.
• 输出：一棵决策树.
• 过程：
  1. 构造一个节点N；
  2. 如果数据记录D中的所有记录的类标都相同（记为C类）：
     • 则将节点N作为叶子节点标记为C，并返回结点N；
  3. 如果属性列表为空：
     • 则将节点N作为叶子结点标记为D中类标最多的类，并返回结点N；
  4. 调用AttributeSelectionMethod(D,attributeList)选择最佳的分裂准则splitCriterion;
  5. 将节点N标记为最佳分裂准则splitCriterion;
  6. 如果分裂属性取值是离散的，并且允许决策树进行多叉分裂：
     • 从属性列表中减去分裂属性，attributeLsit -= splitAttribute;
  7. 对分裂属性的每一个取值j:
     • 记D中满足j的记录集合为Dj;
     • 如果Dj为空：
       • 则新建一个叶子结点F，标记为D中类标最多的类，并且把结点F挂在N下;
     • 否则：
       • 递归调用GenerateDecisionTree(Dj,attributeList)得到子树结点Nj，将Nj挂在N下;
  8. 返回结点N;

算法的1、2、3步骤都很显然，第4步的最佳属性选择函数会在后面专门介绍，现在只有知道它能找到一个准则，使得根据判断结点得到的子树的类别尽可能的纯，这里的纯就是只含有一个类标；第5步根据分裂准则设置结点N的测试表达式。在第6步中，对应构建多叉决策树时，离散的属性在结点N及其子树中只用一次，用过之后就从可用属性列表中删掉。比如前面的图中，利用属性选择函数，确定的最佳分裂属性是年龄，年龄有三个取值，每一个取值对应一个分支，后面不会再用到年龄这个属性。算法的时间复杂度是O(k*|D|*log(|D|))，k为属性个数，|D|为记录集D的记录数。

三、属性选择方法

属性选择方法总是选择最好的属性最为分裂属性，即让每个分支的记录的类别尽可能纯。它将所有属性列表的属性进行按某个标准排序，从而选出最好的属性。属性选择方法很多，这里我介绍三个常用的方法：信息增益（Information gain）、增益比率（gain ratio）、基尼指数（Gini index）。

• 信息增益（Information gain）

　　信息增益基于香浓的信息论，它找出的属性R具有这样的特点：以属性R分裂前后的信息增益比其他属性最大。这里信息的定义如下：

其中的m表示数据集D中类别C的个数，Pi表示D中任意一个记录属于Ci的概率，计算时Pi=(D中属于Ci类的集合的记录个数/|D|)。Info(D)表示将数据集D不同的类分开需要的信息量。

如果了解信息论，就会知道上面的信息Info实际上就是信息论中的熵Entropy，熵表示的是不确定度的度量，如果某个数据集的类别的不确定程度越高，则其熵就越大。比如我们将一个立方体A抛向空中，记落地时着地的面为f1，f1的取值为{1,2,3,4,5,6}，f1的熵entropy(f1)=-(1/6*log(1/6)+…+1/6*log(1/6))=-1*log(1/6)=2.58；现在我们把立方体A换为正四面体B，记落地时着地的面为f2，f2的取值为{1,2,3,4}，f2的熵entropy(1)=-（1/4*log(1/4)+1/4*log(1/4)+1/4*log(1/4)+1/4*log(1/4)) =-log(1/4)=2；如果我们再换成一个球C，记落地时着地的面为f3，显然不管怎么扔着地都是同一个面，即f3的取值为{1}，故其熵entropy(f3)=-1*log(1)=0。可以看到面数越多，熵值也越大，而当只有一个面的球时，熵值为0，此时表示不确定程度为0，也就是着地时向下的面是确定的。

有了上面关于熵的简单理解，我们接着讲信息增益。假设我们选择属性R作为分裂属性，数据集D中，R有k个不同的取值{V1,V2,…,Vk}，于是可将D根据R的值分成k组{D1,D2,…,Dk}，按R进行分裂后，将数据集D不同的类分开还需要的信息量为：

信息增益的定义为分裂前后，两个信息量只差：

信息增益Gain(R)表示属性R给分类带来的信息量，我们寻找Gain最大的属性，就能使分类尽可能的纯，即最可能的把不同的类分开。不过我们发现对所以的属性Info(D)都是一样的，所以求最大的Gain可以转化为求最小的InfoR(D)。这里引入Info(D)只是为了说明背后的原理，方便理解，实现时我们不需要计算Info(D)。举一个例子，数据集D如下：

这个数据集是根据一个人的年龄、收入、是否学生以及信用等级来确定他是否会购买电脑，即最后一列“是否购买电脑”是类标。现在我们用信息增益选出最最佳的分类属性，计算按年龄分裂后的信息量：

整个式子由三项累加而成，第一项为青少年，14条记录中有5条为青少年，其中2（占2/5）条购买电脑，3（占3/5）条不购买电脑。第二项为中年，第三项为老年。类似的，有：

可以得出Info年龄(D)最小，即以年龄分裂后，分得的结果中类标最纯，此时已年龄作为根结点的测试属性，根据青少年、中年、老年分为三个分支：

注意，年龄这个属性用过后，之后的操作就不需要年龄了，即把年龄从attributeList中删掉。往后就按照同样的方法，构建D1,D2,D3对应的决策子树。ID3算法使用的就是基于信息增益的选择属性方法。

• 增益比率（gain ratio）

　　信息增益选择方法有一个很大的缺陷，它总是会倾向于选择属性值多的属性，如果我们在上面的数据记录中加一个姓名属性，假设14条记录中的每个人姓名不同，那么信息增益就会选择姓名作为最佳属性，因为按姓名分裂后，每个组只包含一条记录，而每个记录只属于一类（要么购买电脑要么不购买），因此纯度最高，以姓名作为测试分裂的结点下面有14个分支。但是这样的分类没有意义，它没有任何泛化能力。增益比率对此进行了改进，它引入一个分裂信息：

增益比率定义为信息增益与分裂信息的比率：

我们找GainRatio最大的属性作为最佳分裂属性。如果一个属性的取值很多，那么SplitInfoR(D)会大，从而使GainRatio(R)变小。不过增益比率也有缺点，SplitInfo(D)可能取0，此时没有计算意义；且当SplitInfo(D)趋向于0时，GainRatio(R)的值变得不可信，改进的措施就是在分母加一个平滑，这里加一个所有分裂信息的平均值：

• 基尼指数（Gini index）

　　基尼指数是另外一种数据的不纯度的度量方法，其定义如下：

　　其中的m仍然表示数据集D中类别C的个数，Pi表示D中任意一个记录属于Ci的概率，计算时Pi=(D中属于Ci类的集合的记录个数/|D|)。如果所有的记录都属于同一个类中，则P1=1，Gini(D)=0，此时不纯度最低。在CART(Classification and Regression Tree)算法中利用基尼指数构造二叉决策树，对每个属性都会枚举其属性的非空真子集，以属性R分裂后的基尼系数为：

D1为D的一个非空真子集，D2为D1在D的补集，即D1+D2=D，对于属性R来说，有多个真子集，即GiniR(D)有多个值，但我们选取最小的那么值作为R的基尼指数。最后：

我们转Gini(R)增量最大的属性作为最佳分裂属性。

总结

本来打算还讲一下实现的，今天要回家，帮家里收下谷子，本来买的前天的票的，台风影响京广线没走成，先写到这里，收拾东西去。9月30回来，再总结一下实现和实践，并持续后面的话题，欢迎持续关注。