四、稳定的定义与代数稳定判据

4.1 稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件

稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行和工作的首要条件。控制系统在实际应用中应用的首要前提就是系统必须稳定。对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。
控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。
其他：一个反馈条件要么是稳定的，要么是不稳定的—绝对稳定性。具有绝对稳定性的系统称为稳定系统；若一个闭环系统是稳定的，还可以用相对稳定性来进一步衡量其稳定程度。例如：飞机越稳定操作起来越困难。但是现代战斗机的相对不稳定性导致的结果就是良好的可操纵性，因此战斗机不如商业运输机飞行平稳，但是能够实现快速机动。

4.2 稳定的基本概念

定义1：系统处于某一起始的平衡状态。在外界扰动作用的影响下，偏离了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间，这个系统还能恢复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。

不稳定的例子：

演播室音响系统的扬声器与麦克风之间的距离越近，回音越大，近到一定程度，啸叫盖过音响；（类似的现象还有电话机、电脑的麦克风等等）；

稳定性反映在干扰消除之后过渡过程的性质上，系统与平衡状态的偏差可以认为是系统的初始偏差。

定义2：若控制系统在足够小的初始偏差作用下，其过渡过程的偏差随时间的推移逐渐趋于零，也即系统具有恢复原来平衡状态的能力，则称系统是稳定的；否则不稳定。

判断方法：判断传递函数的所有极点是否均位于 $s$ 左半平面，或等价地，判断系统矩阵 $A$ 的特征值是否均位于 $s$ 左半平面。若所有极点（或特征值）均位于 $s$ 左半平面，就可以进一步通过极点（或特征值）的相对位置来判断相对稳定性。

注意事项：

1.稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；

A：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无关）；

B：对实际“小偏差线性化”的近似线性系统，偏差达到一定范围后，系统不再稳定。

2.稳定性指的是自由震荡之下的稳定性，即输入为零，系统在初始偏差不为零时的稳定性；也即是讨论自由振荡是收敛还是发散。

4.3 系统稳定的充要条件

设系统或环节的微分方程为：

$\tiny y^{\left ( n \right )}\left ( t \right )+a_{n-1}y^{\left ( n-1 \right )}\left ( t \right )+\cdots +a_{1}\dot{y}\left ( t \right )+a_{0}y\left ( t \right )=b_{m}x^{\left ( m \right )}\left ( t \right )+b_{m-1}x^{\left ( m-1 \right )}\left ( t \right )+\cdots +b_{1}\dot{x}\left ( t \right )+b_{0}x\left ( t \right )$

式中： $\tiny x\left ( t \right )$ ——输入， $\tiny y\left ( t \right )$ ——输出， $\tiny a_{i},\left ( i=0,\cdots,n-1 \right )$ ； $\tiny b_{j},\left ( j=0,\cdots,m \right )$ 为常系数。

将上式求拉式变换，得：

$\tiny \left ( s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{_{0}} \right )Y\left ( s \right )=\left ( b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_{_{0}} \right )X\left ( s \right )$

即有： $\tiny Y\left ( s \right )=\frac{\left ( b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_{_{0}} \right )}{\left ( s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{_{0}} \right )}\times X\left ( s \right )$

扰动信号的作用相当于对系统的一个脉冲响应信号 $\tiny \delta \left ( t \right )$ ，系统的输出增量（偏差值）即是脉冲输入的响应 $\tiny C\left ( t \right )$ 。

对于具有以上传递函数的控制系统来说，脉冲输入的拉式变换为1，即 $\tiny x_{i}\left ( s \right )=1$ ，所以系统输出增量的拉式变换为：

$\tiny C\left ( s \right )=\frac{\left ( b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_{_{0}} \right )}{\left ( s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{_{0}} \right )}\times x_{i}\left ( s \right )=\sum_{j=1}^{n_{1}}\frac{a_{j}}{s+p_{j}}+\sum_{i=1}^{n_{2}}\frac{\beta _{i}\left ( s+\xi _{i}\omega _{i} \right )+\gamma _{i}\omega_{i}\sqrt{1-\xi _{i}^{2}}}{s^{2}+2\xi _{i}\omega _{i}s+\omega_{i}^{2}}$

$\tiny c\left ( t \right )=\sum_{j=1}^{n_{1}}e^{-p_{j}t}+\sum_{i=1}^{n_{2}}\beta _{i}e^{-\xi _{i}\omega _{i}t}cos\omega _{i}\sqrt{1-\xi ^{2}}t+\sum_{i=1}^{n_{2}}\gamma _{i}e^{-\xi _{i}\omega _{i}t}sin\omega _{i}\sqrt{1-\xi ^{2}}t$