利用MATLAB的常微分方程数值解绘制蝴蝶效应（混沌系统）三维曲线图、平面上的投影图

一、模型的常微分方程及初值

二、ode45求解函数

function r=hudie3(t,x)
global a;
global b;
global c;
 a=8/3;b=10;c=28;
r=zeros(3,1);
r(1)=-a*x(1)+x(2)*x(3);
r(2)=-b*x(2)+b*x(3);
r(3)=-x(1)*x(2)+c*x(2)-x(3);
end

三、绘制混沌系统三维曲线图

 a=8/3;b=10;c=28;
 t0=[0,100];f0=[0,0,1e-10];
 [t,x]=ode45('hudie3',t0,f0);
 plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));
 title('Lorenz模型');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
 grid on

四、绘制混沌系统三个平面上的投影图

a=8/3;b=10;c=28;
t0=[0,100];
 f0=[0,0,1e-10];
 [t,x]=ode45('hudie3',t0,f0);
 subplot(2,2,1)
 plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));
 title('Lorenz模型');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
 grid on
 subplot(2,2,2)
 plot(x(:,1),x(:,2));
 title('Lorenz模型X-Y平面图');xlabel('x');ylabel('y');
 grid on
 subplot(2,2,3)
 plot(x(:,1),x(:,3));
 title('Lorenz模型X-Z平面图');xlabel('x');ylabel('z');
 grid on
 subplot(2,2,4)
 plot(x(:,2),x(:,3));
 title('Lorenz模型Y-Z平面图');xlabel('y');ylabel('z');
 grid on

五、修改初值观察混沌系统图像的变化

以下是给出的几组任意的初值：

其图像如下：

六、探究各初值对图像的影响的参考代码

 a=8/3;b=10;c=28;
 for k=0:50:400
 t0=[0,100];f0=[k,0,1e-10];
 [t,x]=ode45('hudie3',t0,f0);
 subplot(3,3,(k+50)/50)
 plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));
 title('Lorenz模型');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
 grid on
 end

上面程序的图像如下:

   探究第一个初值的变化对图像的影响的时候将变量K放在f0向量的第一个参数上，如上程序所示，探究第二个初值的变化对图像的影响的时候将变量K放在f0向量的第二个参数上，以此类推。

   参数的取值范围通过修改 for k=0:50:400语句实现，但是注意在修改该语句时对应的 subplot(3,3,(k+50)/50)语句中(k+50)/50也要修改，比如将for k=0:50:400改为for k=0:500:4000，则subplot(3,3,(k+50)/50)应该相应的改为subplot(3,3,(k+500)/500)