最近由于研究机器人的运动控制，所以复习和查阅了一些关于坐标系变换的资料，记录一下，以备使用。

1 空间点的坐标变换

以下公式中，规定几种标识：

1) 坐标系A用{A}表示，同理，有{B}；

2) 左上角表示所在坐标系标识，如A p和B p 表示点p分别在坐标系{A}和{B}中的坐标。

1.1 平移坐标变换

1.2 旋转坐标变换

1.3 复合坐标变换

2 旋转矩阵

2.1 二维坐标系的旋转矩阵

2.2 三维坐标系的旋转矩阵

三维坐标系下的旋转需要指定两个要素：旋转轴，旋转角。因此，有不同的旋转矩阵。

2.2.1 绕坐标轴的旋转

 
其中θ的方向确定：当旋转轴朝向被观察者时，逆时针旋转为正，即右手系统，右手攥住旋转轴，大拇指指向旋转轴箭头方向时，其它四指指的方向即为旋转正向。如图所示。

2.2.2 绕空间任意轴的旋转矩阵

θ 的旋转方向也遵守前述的右手系统。

实际上，前面讲的三个绕坐标轴的基本旋转矩阵是以上公式的三个特例。

这个公式也可由以上的三个基本旋转矩阵推导而来，其基本思想是把绕任意单位向量的旋转分解为几个已知的动作：

1) 首先旋转给定向量轴到位于任意一个坐标平面内（XY、YZ或ZX）；

2) 然后旋转这个给定向量轴与刚才这个坐标平面内的一个轴重合（X、Y或Z）；

3) 利用以上的三个基本旋转矩阵，绕与之重合的这个坐标轴旋转相应的角度θ θθ；

4) 反向做2)步骤的工作；

5) 反向做1)步骤的工作。

具体推导过程可见其它材料。

2.3 旋转矩阵的特性

R T = R − 1 ，即旋转矩阵的转置等于旋转矩阵的逆。旋转矩阵为正交矩阵，同一行、列元素的平方和=1；不同行、列元素对应乘积的和=0；矩阵行列式=1。旋转矩阵的9个元素是线性相关的。

3 多次旋转的组合

一次空间旋转，可以分解为多次旋转的组合，实际上就是多次用不同的旋转矩阵来叉乘，多次旋转矩阵组合时，要注意：矩阵与矩阵的叉乘，或者矩阵与向量的叉乘，满足结合律，但一般不满足交换律，因此，要注意旋转矩阵的顺序。