线性回归

什么是线性回归

定义与公式

线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。

• 特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归

线性回归的特征与目标的关系分析

线性回归当中的关系有两种，一种是线性关系，另一种是非线性关系。在这里我们只能画一个平面更好去理解，所以都用单个特征举例子。

• 线性关系

 如果在单特征与目标值的关系呈直线关系，或者两个特征与目标值呈现平面的关系

• 非线性关系

线性回归的损失和优化原理

假设刚才的房子例子，真实的数据之间存在这样的关系

真实关系：真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

那么现在呢，我们随意指定一个关系（猜测）

随机指定关系：预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率

请问这样的话，会发生什么？真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢？类似这样样子

 那么存在这个误差，我们将这个误差给衡量出来

损失函数

总损失定义为：

• y_i为第i个训练样本的真实值
• h(x_i)为第i个训练样本特征值组合预测函数
• 又称最小二乘法

如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！！！

优化算法

正规方程

理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果

缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果

梯度下降

理解：α为学习速率，需要手动指定（超参数），α旁边的整体表示方向

沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新W值

使用：面对训练数据规模十分庞大的任务 ，能够找到较好的结果

我们通过两个图更好理解梯度下降的过程

 所以有了梯度下降这样一个优化算法，回归就有了”自动学习”的能力

优化动态图演示

线性回归API

• sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)
  • 通过正规方程优化
  • fit_intercept：是否计算偏置
  • LinearRegression.coef_：回归系数
  • LinearRegression.intercept_：偏置
• sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss=”squared_loss”, fit_intercept=True, learning_rate =’invscaling’, eta0=0.01)
  • SGDRegressor类实现了随机梯度下降学习，它支持不同的loss函数和正则化惩罚项来拟合线性回归模型。
  • loss:损失类型
    • loss=”squared_loss”: 普通最小二乘法
  • fit_intercept：是否计算偏置
  • learning_rate : string, optional
    • 学习率填充
    • ‘constant’: eta = eta0
    • ‘optimal’: eta = 1.0 / (alpha * (t + t0)) [default]
    • ‘invscaling’: eta = eta0 / pow(t, power_t)
      • power_t=0.25:存在父类当中
    • 对于一个常数值的学习率来说，可以使用learning_rate=’constant’ ，并使用eta0来指定学习率。
  • SGDRegressor.coef_：回归系数
  • SGDRegressor.intercept_：偏置

 案例-波士顿房价

数据介绍

分析

回归当中的数据大小不一致，是否会导致结果影响较大。所以需要做标准化处理。同时我们对目标值也需要做标准化处理。

• 数据分割与标准化处理
• 回归预测
• 线性回归的算法效果评估

回归性能评估

均方误差(Mean Squared Error)MSE)评价机制：

 y^i为预测值，¯y为真实值

sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)

• 均方误差回归损失
• y_true:真实值
• y_pred:预测值
• return:浮点数结果

from sklearn.datasets import load_boston from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor from sklearn.metrics import mean_squared_error def linear1(): """ 正规方程的优化方法对波士顿房价预测 """
    #获取数据
    boston=load_boston() print("特征个数：\n",boston.data.shape) #划分数据集
    x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(boston.data,boston.target,random_state=22) #标准化
    transfer=StandardScaler() x_train=transfer.fit_transform(x_train) x_test=transfer.transform(x_test) #预估器
    estimator=LinearRegression() estimator.fit(x_train,y_train) #得出模型
    print("正规方程-权重系数为：\n",estimator.coef_) print("正规方程-偏置为：\n",estimator.intercept_ ) #模型评估
    y_predict=estimator.predict(x_test) print("预测房价：\n",y_predict) error=mean_squared_error(y_test,y_predict) print("正规方程-均方差误差:\n",error) return None def linear2(): """ 梯度下降的优化方法对波士顿房价预测 """
    #获取数据
    boston=load_boston() #划分数据集
    x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(boston.data,boston.target,random_state=22) #标准化
    transfer=StandardScaler() x_train=transfer.fit_transform(x_train) x_test=transfer.transform(x_test) #预估器
    estimator=SGDRegressor() estimator.fit(x_train,y_train) #得出模型
    print("梯度下降-权重系数为：\n",estimator.coef_) print("梯度下降-偏置为：\n",estimator.intercept_ ) #模型评估
    y_predict = estimator.predict(x_test) print("预测房价：\n", y_predict) error = mean_squared_error(y_test, y_predict) print("梯度下降-均方差误差:\n", error) return None if __name__ == '__main__': linear1() linear2()

结果为：

正规方程和梯度下降对比

总结

• 线性回归的损失函数-均方误差
• 线性回归的优化方法线性回归的性能衡量方法-均方误差
  • 正规方程
  • 梯度下降
• sklearn的SGDRegressor API 参数