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【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵

人工智能 我是。 2347次浏览 0个评论

一、引入

假设有6个函数,每个函数有6个独立的变量,即:

y1=f1(x1,x2,x3,x4,x5,x6) y2=f2(x1,x2,x3,x4,x5,x6) y6=f6(x1,x2,x3,x4,x5,x6)   我们用矢量形式表达上式,即:   Y=F(X)   现在,如果我们要计算yi的微分关于xi的微分的函数,通过多元函数求导法则,可以计算出:  
【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵   同样,我们以矢量形式表示:  
【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵   式(1)中的
【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵偏导数矩阵。它,就是我们所说的雅克比矩阵    

速度映射

  如果f1(X)f6(X)都是非线性函数,那么,这些偏导数都是关于xi的函数,我们可以用以下式子表达:   δY=J(X)δX(2)   式(2)两边同时除以时间微分dt,我们就可以将雅克比矩阵看作是X 中的速度映射为Y 中的速度:  
【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵  

在任一瞬间,X都有一个确定的值,J(X)是个线性变换,在每一新时刻,如果X发生改变,J(X)也会发生改变

  在机器人学中,通常使用雅克比将关节速度与操作臂末端的速度联系起来:  
【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵   其中,Θ为关节角组成的向量,v 为速度向量。对于6关节机械臂,雅克比矩阵为
【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵v 是由一个3×1的线速度和一个3×1的角速度所组成,表达为:  
【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵   对于两连杆机构,如下图,我们很容易写出它的关节速度(世界坐标系下)与执行器末端速度的关系:  
【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵   以及相对于执行器末端的速度:  
【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵   因此,我们能够算出世界坐标系的雅克比矩阵为:  
【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵   末端执行器坐标系下的雅克比:  
【关于四足机器人那些事】雅克比矩阵  
在这里插入图片描述


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