坐标系变换方程
如果有n个未知变换和n个变换方程，这个变换可由变换方程解出。例如：图1中变换
了操作臂指向的坐标系{T}，它是相对于操作臂基座的坐标系{B}的，又已知工作台相对于操作臂基座的空间位置
并且已知工作台上螺栓的坐标系相对于工作台坐标系的位置，即
，计算螺栓相对于操作手的位置，
由公式推导，得到相对于操作手坐标系的螺栓坐标系为：
基坐标系｛B｝
基坐标系｛B｝位于操作臂的基座上。它仅是赋予坐标系｛0｝的另一个名称。
工具坐标系｛T｝
工具坐标系｛T｝附于机器人所夹持的工具末端。
工具坐标系6点法标定：
机器人末端坐标系 ｛E｝相对于机器人基坐标系｛B｝的变换关系为
工具坐标系 ｛T｝相对于末端坐标系 ｛E｝的变换关系为
工具坐标系 ｛T｝相对于基坐标 ｛B｝的变换关系为
; 三者的转换关系为：
采用四点法标定TCP如图所示,标定 TCP的4个位置，4 点之间各差90度且不能在一个平上。
分别为机器人末端坐标系 4 个点的旋转矩阵；
分别为机器人末端坐标系 4 个点的位置矢量; 
为工具的旋转矩阵;
为工具的位置矢量;
分别为工具坐标系末端4个点的旋转矩阵;
为工具坐标系末端的位置矢量。因 4 个不同位姿下工具坐标系在基坐标系的位置不变，即
为定值；
各个参数不变也为定值。
可以得到：
式中包含
3个未知量，系数为9×3的矩阵。因为系数矩阵不是方阵，不可直接求逆，因此使用广义逆矩阵，采用高斯消元求解。
计算出工具坐标系的位置后，还需要标定计算TCP的姿态。TCP姿态采用 z/x 方向标定，此过程保持TCP的姿态不变。将位置标定点 P 4作为第 1个 TCP姿态标定点，示教机器人沿+X 方向至少移动250mm后作为第 2个标定点P 5 ; 然后回到第 1个标定点示教机器人沿 +Z方向移动至少250mm作为第3个标定点P 6 。
因为3个标定点的姿态保持不变，可得
都相等。因为第1个姿态标定点与第2 个标定点( 沿 +X 方向) 之间的向量关系也就是工具坐标系沿+X 方向的向量，因此得到工具坐标系 T 的 X 轴轴向向量：
相似地，根据第1个姿态标定点与第 3个标定点( 沿+Z 方向) 之间的向量关系，由此可以得到工具坐标系T 的 Z 轴轴向向量：
同理Y轴轴向向量由右手定则可得：Y=Z×X再对Z=X×Y 进行计算，以保证坐标系矢量的正交性。
得到每个轴的轴向向量之后，对其进行单位化操作，得到工具坐标 T 相对于基坐标 B 的姿态，左乘末端坐标系 E 旋转矩阵的逆，求出工具坐标系的旋转矩阵
用户坐标系｛U｝
用户坐标系｛U｝即，用户自定义坐标系；机器人可以和不同的工作台或夹具配合工作， 在每个工作台上建立一个用户坐标系。
用户坐标系有原点三点标定：
（1）示教第一个点为用户坐标系原点O
（2）在xyz任意轴上示教一点，例如X轴示教一点P x
，则用户坐标系x轴单位向量为n=(P x -O)/norm(P x -O)
（3）在剩余两轴上示教一点，例如Y轴示教一点P y，则用户坐标系y轴单位向量为o=(P y -O)/norm(P y -O)
（4）计算得到则用户坐标系z轴单位向量a=n×o
即，建立好的用户坐标系为（在基坐标系下的描述）：
这样我们就在基坐标系｛B｝下，建立了一个用户坐标系｛U｝，在用户坐标系下测量工作空间内各点位置，更方便记录描述参数，符合人的直观。在基坐标系下的点
与用户坐标系下的点
关系为：
