导言我们都知道关节一般会导致(驱动)机械臂产生两种状态：平移或者转动。也知道我们需要借助坐标系来描述物体的姿态和位置信息，那如何为一整个机械臂建立一个完整的坐标系，从而能够求解每个关节通过平移/旋转多少值让机械臂最终拿到我们的目标物品呢？在这里需要借助DH表达法来定义我们的坐标系的作法，并且给出需要求解的数值（平移
$\large d$ /旋转
$\large \Theta$ ）在空间上的表达。本节是学习正逆向运动学的基础。

D-H表达法（Denavit-Hartenberg）

DH表达法有两个通用版本，一个是标准版（standard），一个是craig版本，在这先使用craig版本作解释。一般（驱动）关节（joint）分为两种：转轴（R型,revolute）或者滑动杆 / 平移（P型,prismatic）

如何构建DH表格

构建DH表格首先需要画出坐标系，然后根据坐标系的数据做表。 （1）如何确定 $z$ 轴？ 首先找到每个关节的转动/平移方向平移关节 : 沿着平移方向画
$z$ 轴转轴关节 :垂直转动方向做
$z$ 轴 注：方向不唯一，全凭喜好或条件选择轴向正负
机器人理论（3）DH表达法：解析关节轴之间的关系可以看到这个机械臂由转动、平移、转动关节组成，即所谓的RPR类型机械臂。 （2）如何确定 $x$ 轴？ 上过高中的一定知道啦，空间中的两条线一定能找到一条线与它们都垂直。找到一条与关节
$\large i$ 、关节
$i+1$ 的
$z$ 轴都垂直并相交的线，这条线就是
$x$ 轴。 注：方向不唯一，全凭喜好或条件选择轴向正负 需要注意的是（下面的(5) 解释了
$\large a_{i}$ 是个什么东西）:
$Z_{i}$ 与
$Z_{i+1}$ 不在同一平面上时：
$\large a_{i}$ ≠0，
$x$ 轴沿着这条线。
$Z_{i}$ 与
$Z_{i+1}$ 在同一平面上：
$\large a_{i}$ =0
机器人理论（3）DH表达法：解析关节轴之间的关系 （3）如何确定 $y$ 轴？ 已知
$x$ 轴、
$z$ 轴，与它们两两垂直的就是
$y$ 轴。（符合坐标系的右手定则）
（4）处理特殊点的坐标系（最开始、最后的） 由上述三点，一般杆件的驱动坐标系都定义出来了。还有两个特殊的杆件：地杆和端杆，我们如何处理？

地杆（第0杆，link 0）：无关节驱动、不动的

机器人理论（3）DH表达法：解析关节轴之间的关系当
$\theta_{1}$ = 0 （或
$\small d_{1}$ = 0 ）时的关节1的坐标系，就可当作地杆的关节坐标系（如图红色所示）。
注：这个坐标系定义后不会变动，一般作为整个机械臂的参考坐标系使用。

端杆（最后一杆,link n）：

端杆依靠最后一个关节的运动改变坐标位置
机器人理论（3）DH表达法：解析关节轴之间的关系一般使用上一个关节的坐标系的
$x$ 轴延伸直线作为端杆的
$x$ 轴。
（5）构建DH表格
（注意区分 $\large a$ 和 $\large \alpha }$ ）
$\large a_{i-1}$ : 即关节
$i-1$ 与关节
$i$ 两者
$z$ 轴的最短举例（即垂直距离）

$\large \alpha _{i-1}$ ：即关节
$i-1$ 与关节
$i$ 两者
$z$ 轴的角度差
$\large d_{i}$ : 即
$\large a_{i-1}$ 与
$\large a_{i}$ 的最短距离
$\theta_{i}$ ：即
$\large a_{i-1}$ 与
$\large a_{i}$ 的角度差一般
$\large d_{i}$ 以上/右为正，
$\theta_{i}$ 以逆时针方向为正方向。如果仅是表达两杆，只需要
$\large a$ 、
$\large \alpha$ 即可。如果是多杆（一般情况），涉及到的信息矩阵T的运算需要
$\large d_{i}$ 、
$\theta_{i}$ 参数。然后根据情况将机械臂的数值写到表中：
机器人理论（3）DH表达法：解析关节轴之间的关系一般而言，杆的长度我们都是已知的，数值都是可以直接得到的，所以有：对于转轴而言，
$\large a$ 、
$\large \alpha$ 、
$\large d$ 都是已知的。
$\theta$ 是未知的，它是这个关节的驱动数值。对于动杆而言，
$\large a$ 、
$\large \alpha$ 、
$\theta$ 都是已知的。
$\large d$ 是未知的，它是这个关节的驱动数值。

DH表的作用

我们通过齐次矩阵{T}能轻易知道两个关节杆子相互之间的联系与位置转换，通过{T}的运算连续性也很容易知道不相邻杆件关节间的状态：
机器人理论（3）DH表达法：解析关节轴之间的关系通过上式可以得知，如果我们想把物体
$\large P$ 向量从{
$\large i$ }的表达转换到{
$\large i-1$ },则需要依次经过从
$\large i-1$ 到
$\large R$ ，从
$\large R$ 到
$\large Q$ ….. 这样就能让我们的机械臂一步一步慢慢触碰到目标物体了。那么我们如何得知的
$\large T$ 具体数值呢？ DH表的最大作用就是为齐次矩阵 T 提供了必要的数值。 从而可以使关节0通过相应的T矩阵到关节1的位置，关节
$\large i$ 通过T矩阵到达关节
$\large i+1$ 的位置，一个推一个，最终达到目标位置。由于（二）中提到的，齐次矩阵{T}的特性，可以推出：
机器人理论（3）DH表达法：解析关节轴之间的关系这个矩阵的意思是：关节i-1怎么到关节i呢？首先是围绕
$\large x_{i-1}$ 轴逆时针转动
$\large \alpha _{i-1}$ （蓝色->绿色），然后再沿着
$\large x_{R}$ 轴向右平移
$\large a_{i-1}$ （绿色->橙色）然后再围绕
$\large z_{Q}$ 轴逆时针转动
$\large \Theta _{i}$ （橙色->紫色），然后再沿着
$\large z_{P}$ 轴向上平移
$\large d_{i}$ （紫色->红色）然后就能得到固定公式
$\large _{i}^{i-1}\textrm{T}$ =
机器人理论（3）DH表达法：解析关节轴之间的关系

扩展（选读）

DH表达法的另一个版本（标准版）

之前有提到DH表达法由两种版本，本博客举例的是craig版本的，而不是早期教材中的standard版本。
机器人理论（3）DH表达法：解析关节轴之间的关系
他们的区别是： 1、名称上的区别，前者的关节的表示英文为axis ,后者为 joint 2、代号定义上的区别，前者是关节i后面接杆件
$\large i$ ，后者是关节i后面接杆件
$\large i+1$ . 3、坐标系的画法标准不同，关于
$\large x$ 轴的画法，前者是
$\large z_{i}$ 指向
$\large z_{i+1}$ ，后者是
$\large z_{i-1}$ 指向
$\large z_{i}$ 。 4、运算上的复杂度区别，后者需要的运算量稍微大了点。（以[相关例子]的最后一个图为例）
机器人理论（3）DH表达法：解析关节轴之间的关系

复合型关节如何得到驱动数值

之前说过了，一般的关节分两种：转轴或者滑动杆。其中转轴的驱动机械臂运动的数值取决于
$\large \Theta$ ，滑动杆取决于
$\large d$ 。但是实际上的需求关节会有更复杂的，这里以这个机器人的轮腿为例:

机器人理论（3）DH表达法：解析关节轴之间的关系

可以看到的轮子不只可以转动，而且由于可以“上上下下”，所以可以达到“走路”的效果。所以这是由两个马达控制的关节驱动，一个控制转动
$\large \Theta$ ，一个控制位移
$\large \gamma$ 。
$\large \varphi _{1}$ ,
$\large \varphi _{2}$ 代表的是两个马达的状态。