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机器人动力学与控制学习笔记(二)————机器人动力学建模

人工智能 Kocurry 1431次浏览 0个评论

二、工业机器人动力学

        机器人动力学描述的是关节力矩、动力学参数及关节运动的关系,用于机器人动力学建模的方法很多,如牛顿-欧拉方法、拉格朗日方法、凯恩方法、算子代数方法等。对于同一个机器人,无论采用何种建模方法,最终得到的动力学模型都是等价的,可以表示为:

                   \tiny \tau _{dyn}=D\left ( q \right )\ddot{q}+C\left ( q,\dot{q} \right )+G\left ( q \right )(2-1)                                         (2-1)

  其中\tiny D\left ( q \right )为惯性项,\tiny C\left ( q,\dot{q} \right )为科氏力及离心力项,\tiny G\left ( q \right )为重力项,每一项都是机器人惯性参数与关节运动参数的函数。机器人的10个惯性参数可表示为向量的形式:\tiny P_{iner}=\left ( I_{xx}, I_{xy}, I_{xz}, I_{yy}, I_{yz}, I_{zz}, H_{x}, H_{y}, H_{z}, m\right ),其中,参数\tiny I_{xx}\sim I_{zz}为机器人惯量矩阵\tiny I中的6个参数,\tiny H_{x}\sim H_{z}\tiny H=m\times \vec{r_{c}}=m\left ( r_{cx}, r_{cy}, r_{cz}\right )的3个分量(\tiny \vec{r_{c}}为质心向量)。上述9个量均包含(2-1)在\tiny D\left ( q \right )\tiny C\left ( q,\dot{q} \right )项内,\tiny m表示质量,包含在\tiny G\left ( q \right )项。

 基于模型的控制方案主要包括计算力矩控制、动力学前馈控制等,要想通过这些控制方法实现对轨迹的完全精确跟踪,控制方法中的动力学模型必须与机器人实际的动态特性相符。而各种典型建模方法所得到的动力学模型(2-1),只是在理想情况下的结果。实际情况中,影响机器人动力学的因素很多,如加工、装配、材料分布不均等引起的偏差;关节弹性引起的变形所带来的运动学参数偏差;关节摩擦引起的摩擦力矩;由传动方案所引起的不同关节间的运动耦合等。这些因素中,很多无法进行精确建模。为了不增加动力学模型的复杂性,理想的动力学建模方法并未完全考虑这些因素的作用,因此所得到的动力学模型(1-2)与实际的机器人动力学特性是有偏差的。动力学模型的偏差映射到控制方案中,就会引起轨迹的跟踪误差。

2.1  动力学参数辨识

完整的动力学参数辨识主要包括动力学建模、动力学模型的线性化(辨识模型),辨识轨迹优化、辨识算法构造、参数采集与处理、试验验证等几个方面。不同辨识方案在建模、线性化、轨迹优化及试验验证方面没有太大区别,区别主要体现在辨识算法和采集方面。

        就辨识算法而言,目前已有神经网络辨识,遗传算法辨识,最大似然估计辨识,卡尔曼滤波算法辨识,最小二乘法辨识等。

        数据采集的区别主要体现在力矩的采集上,关节运动参数一般都是通过安装在电机上的编码器测得关节转角,再对关节转角进行微分得到角速度、角加速度。而力矩的采集大致分为两类,即力传感器直接测量及通过电机电流间接测量。对于直接测量,需要在几机器人关节安装力传感器,一般选在末端或基座处,一是因为其他关节在装配后没有安装力传感器的空间,另一方面,每个关节都安装测力传感器势必会大大增加辨识成本;间接测量是通过电机电流测测量值简介计算出电机的驱动力矩值,电机电流与驱动力矩满足:

       \tiny \tau _{in}=k\cdot i_{c} 

        \tiny \tau为关节力矩,\tiny k为电机转矩常数,\tiny i_{c}电机驱动电流。不同测量方案对可辨识的参数类型及参数辨识过程有影响,而不同辨识算法仅对辨识精度有影响。

2.2  牛顿-欧拉动力学建模

  牛顿-欧拉动力学方法基于两个基本方程,即力平衡方程以及力矩平衡方程,分别为:
                                                                             

                                                  \tiny f_{c}=ma_{c}

                                           \tiny n_{c}=I_{c}\cdot \alpha +\omega \times \left ( I_{c}\cdot \omega \right )

    \tiny f_{c}表示作用于机械臂质心处的合力,\tiny a_{c}表示机械臂质心的线加速度,\tiny n_{c}表示作用于机械臂质心处的合力矩,\tiny I_{c}表示相对机械臂质心表示的机械臂惯量矩阵,\tiny \alpha表示机械臂角的加速度,\tiny \omega表示机械臂角的角速度。

        牛顿-欧拉动力学建模方法包括两部分,即正向运动学递推及反向动力学递推:

(1)正向运动学递推

        角速度递推:

角加速度递推:

        线加速度递推:

        质心处线加速度:

   其中,\tiny _{i}^{i+1}\textrm{R}表示第\tiny i与第\tiny i+1坐标系间的姿态转换矩阵,\tiny ^{i}\textrm{p}_{i+1}表示第\tiny i与第\tiny i+1坐标原点间的距离向量,\tiny ^{i+1}\textrm{z}_{i+1}表示\tiny i+1关节的轴线方向,\tiny \dot{q}_{i+1},\ddot{q}_{i+1}均为关节变量,分别表示关节的角速度和角加速度,其他各符号含义同前,其中左上标代表参数在哪个坐标系表示,右下标表示参数所隶属的机械臂。
(2)反向运动学递推

  \tiny i机械臂质心处的合力:

        \tiny i机械臂关节处的作用力:

        \tiny i机械臂质心处的合力矩:

        \tiny i机械臂关节处的合力矩:

 最后,将作用于关节\tiny i处的合力矩向\tiny i关节轴线方向投影,得到关节\tiny i的驱动力矩:

        这样,得到工业机器人的动力学方程,一般可写为标准形式:

        \tiny \tau为机器人的驱动力矩向量,满足:

        其中, \tiny \tau _{_{i}}表示第\tiny i关节的驱动力矩。

 \tiny D\left ( q\right )称为机械臂的质量矩阵,是一个对称阵:

                                                     \tiny D\left ( q \right )=\begin{bmatrix} D_{11} &D_{12} & .... & D_{1n}\\ D_{12} &D_{22} & .... & D_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ D_{1n} &D_{2n} & .... & D_{nn} \end{bmatrix}

     对角项\tiny D_{ii}通过第\tiny i关节的角加速度\tiny \ddot{q}_{i}产生对第 \tiny i关节力矩\tiny \tau _{i}的力矩分量,非对角项\tiny D_{ik}通过第\tiny k关节的角加速度\tiny \ddot{q}_{k}产生对第\tiny i关节力矩\tiny \tau _{i}的力矩分量。

        \tiny C\left ( q,\dot{q} \right )为科氏力及离心力项,满足:

                          

                           \tiny C\left ( q,\dot{q} \right )=\left ( c_{1},c_{2},...,c_{n} \right )

        其中,

             

                                                   \tiny c_{i}=\dot{q}^{T}\cdot C_{i}\cdot \dot{q}

                                                       \tiny C_{i}=\begin{bmatrix} C_{i11} &C_{i12} & .... & C_{i1n}\\C_{i12} &C_{i22} & .... & C_{i2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ C_{i1n} &C_{i2n} & .... & C_{inn} \end{bmatrix}

                                                                  ,

 \tiny c_{ijk}的后两个下标\tiny j,k表示此力矩分量与\tiny j,k关节的速度有关,他们的动态力相互作用在关节\tiny i处产生反作用力(力矩),标号\tiny i总表示“感受”到速度引起的反作用力(力矩)的关节编号。当\tiny j=k时,\tiny c_{ijk}与关节\tiny i“感受”到的关节\tiny k的角速度产生的离心力有关;而当\tiny j\neq k时,\tiny c_{ijk}与关节\tiny i“感受”到的关节\tiny j\tiny k的速度产生的科氏力有关。

2.3 牛顿-欧拉动力学编程

    利用Newton-Euler方程建立动力学模型,在Matlab中利用m语言编写程序,完成动力学模型正反解验证。

(1)建立牛顿-欧拉方程逆动力学模型。输入是六个关节的期望角度、速度和加速度,输出是六个关节力矩。

(2)建立凯恩方程正动力学模型。输入是上一级的六个关节的力矩,输出是实际期望角度、速度和加速度。


                                                          图 1 基于牛顿-欧拉方程和凯恩方程建立的机器人动力学模型simulink仿真图

                                                                                            图2 六个关节输出力矩

                                                                        图3 六个关节实际输出角度、速度和加速度 

 


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